Бесконечная последовательность чисел x_n определяется условиями:   x_n+1 = 1 – |1 – 2x_n|,  причём  0 ≤ x₁ ≤ 1.
Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая  а) в том  б) и только в том случае, когда x₁ рационально.

   Решение

Куда переходит полоса  2 < Re z < 3  при отображениях:
  а)  w = z^–1;   б)  w = (z – 2)^–1;   в)  w = (z – ⁵/₂)^–1?

   Решение

Дана фиксированная хорда MN окружности, не являющаяся диаметром. Для каждого диаметра AB этой окружности, не проходящего через точки M и N, рассмотрим точку C, в которой пересекаются прямые AM и BN, и проведём через неё прямую l, перпендикулярную AB. Докажите, что все прямые l проходят через одну точку.

   Решение

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Угол (экстремальные свойства) ] [ Построения (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На одной из сторон угла взяты две точки A и B. Найдите на другой стороне угла точку C такую, чтобы угол ACB был наибольшим. Постройте точку C с помощью циркуля и линейки.

Подсказка

Задача сводится к построению окружности, проходящей через две данные точки и касающейся данной прямой.

Решение

Пусть O — вершина угла. Через точки A и B проведём окружность, касающуюся второй стороны угла. Если C — точка касания, то по теореме о касательной и секущей OC² = OB ^. OA. Отрезок OC — среднее геометрическое отрезков OB и OA.

Докажем теперь, что угол ACB наибольший из всех углов с вершиной на второй стороне данного угла. Пусть M — точка на этой стороне угла, отличная от C. Если P и Q — точки пересечения с окружностью отрезков AM и BM, то угол AMB измеряется полуразностью дуг AB и PQ, а угол ACB — половиной дуги AB. Следовательно, он больше.

Источники и прецеденты использования