Версия для печати
Убрать все задачи

---

Перед вами замок "с секретом" (см. рисунок).

Если вы поставите стрелки на нужные буквы, то получите ключевое слово и замок откроется. Какое это слово?

   Решение

---

Докажите, что для любого натурального числа $n\geqslant 2$ и для любых действительных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$, удовлетворяющих условию $a_1+a_2+\ldots+a_n\ne 0$, уравнение \begin{align*} &a_1(x-a_2)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\\+&a_2(x-a_1)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\ldots\\ \ldots+&a_n(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_{n-1})=0 \end{align*} имеет хотя бы один действительный корень.

   Решение

---

Боковые стороны трапеции равны 7 и 11, а основания — 5 и 15. Прямая, проведённая через вершину меньшего основания параллельно большей боковой стороне, отсекает от трапеции треугольник. Найдите его стороны.

   Решение

---

Докажите, что нечётное число, являющееся произведением n различных простых сомножителей, можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел ровно 2^n–1 различными способами.

   Решение

---

После экспериментов с мнимой единицей, Коля Васин занялся комплексной экспонентой. Пользуясь формулами задачи 61115, он смог доказать, что  sin x  всегда равен нулю, а  cos x  – единице:

Где ошибка в приведённых равенствах?

   Решение

---

Доказать, что любая ось симметрии 45-угольника проходит через его вершину.

   Решение

---

Илья всегда говорит правду, но когда ему задали дважды один и тот же вопрос, он дал на него разные ответы. Какой бы это мог быть вопрос?

   Решение

---

Докажите, что треугольник со сторонами a, b и c остроугольный тогда и только тогда, когда  a² + b² + c² > 8R².

   Решение

---

Восстановите алфавит племени Мумбо-Юмбо из задачи 2.6.

   Решение

---

Докажите, что треугольники abc и a'b'c' собственно подобны, тогда и только тогда, когда

   Решение

---

Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов.

   Решение

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Подобные треугольники и гомотетия (построения) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов.

Подсказка

Сначала постройте произвольный прямоугольный треугольник с заданным отношением катетов.

Решение

Предположим, что нужный треугольник ABC ( C = 90^o) построен. Пусть AB = c — данный отрезок, а = — данное отношение. Пусть C₁ и B₁ — точки на лучах AC и AB такие, что C₁B₁ || CB. Тогда

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим прямоугольный треугольник AC₁B₁(C₁ = 90^o) по двум катетам: AC₁ = m и B₁C₁ = n. На луче AB₁ строим точку B так, что AB = c Через точку B проводим прямую, параллельную B₁C₁ до пересечения с лучом AC₁ в точке C. Треугольник ABC — искомый.

Предположим, что нужный треугольник ABC ( C = 90^o) построен. Пусть AB = c — данный отрезок, а = — данное отношение. Пусть C₁ и B₁ — точки на лучах AC и AB такие, что C₁B₁ || CB. Тогда

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим прямоугольный треугольник AC₁B₁(C₁ = 90^o) по двум катетам: AC₁ = m и B₁C₁ = n. На луче AB₁ строим точку B так, что AB = c Через точку B проводим прямую, параллельную B₁C₁ до пересечения с лучом AC₁ в точке C. Треугольник ABC — искомый.

Предположим, что нужный треугольник ABC ( C = 90^o) построен. Пусть AB = c — данный отрезок, а = — данное отношение. Пусть C₁ и B₁ — точки на лучах AC и AB такие, что C₁B₁ || CB. Тогда

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим прямоугольный треугольник AC₁B₁(C₁ = 90^o) по двум катетам: AC₁ = m и B₁C₁ = n. На луче AB₁ строим точку B так, что AB = c Через точку B проводим прямую, параллельную B₁C₁ до пересечения с лучом AC₁ в точке C. Треугольник ABC — искомый.

Источники и прецеденты использования