Докажите, что треугольники abc и a'b'c' собственно подобны, тогда и только тогда, когда

   Решение

Докажите, что барицентрические координаты точки X, лежащей внутри треугольника ABC, равны (S_BCX : S_CAX : S_ABX).

   Решение

Вадим и Лёша спускались с горы. Вадим шёл пешком, а Лёша съезжал на лыжах в семь раз быстрее Вадима. На полпути Лёша упал, сломал лыжи и ногу и пошёл в два раза медленней Вадима. Кто первым спустится с горы?

   Решение

Найти все рациональные положительные решения уравнения  x^y = y^x  (x ≠ y).

   Решение

Имеется неограниченное количество плиток в форме многоугольника M. Будем говорить, что из этих плиток можно сложить паркет, если ими можно покрыть круг сколь угодно большого радиуса так, чтобы не было ни просветов, ни перекрытий.
а) Докажите, что если M — выпуклый n-угольник, где n7, то паркет сложить нельзя.
б) Приведите пример такого выпуклого пятиугольника с попарно непараллельными сторонами, что паркет сложить можно.

   Решение

Числа a, b, c и d таковы, что  a² + b² + c² + d² = 4.  Докажите, что  (2 + a)(2 + b) ≥ cd.

   Решение

В классе 33 ученика, всем вместе 430 лет.
Докажите, что если выбрать 20 самых старших из них, то им вместе будет не меньше, чем 260 лет. (Возраст любого ученика – целое число.)

   Решение

Дан отрезок $AB$. Пусть $C$ – произвольная точка на серединном перпендикуляре к $AB$; $O$ – точка на описанной окружности треугольника $ABC$, противоположная $C$; эллипс с центром $O$ касается прямых $AB$, $BC$, $CA$. Найдите геометрическое место точек касания эллипса с прямой $BC$.

   Решение

Постройте треугольник по двум сторонам так, чтобы медиана, проведённая к третьей стороне, делила угол треугольника в отношении  1 : 2.

   Решение

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте треугольник по двум сторонам так, чтобы медиана, проведённая к третьей стороне, делила угол треугольника в отношении  1 : 2.

Подсказка

Рассмотрите образ одной из вершин треугольника при симметрии относительно указанной медианы (или примените теорему синусов).

Решение

  Первый способ. Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Пусть  BC = a  и  AC = b  – его данные стороны, CM – медиана,  ∠ACM = α,
∠BCM = 2α.  Если E – точка, симметричная вершине B относительно прямой CM, то  CE = CB = a,  ∠ECM = ∠BCM = 2α,  ∠ECA = α.  Поскольку
ME = MB = MA,  то  ∠AEB = 90°.  Поэтому  AE || EC,  ∠EAC = ∠MCA = α.  Следовательно, треугольник AEC равнобедренный, то есть  AE = EC = a.
  Отсюда вытекает следующее построение. Строим равнобедренный треугольник ACE по трём сторонам. Через вершину C проводим прямую, параллельную AE. Образ точки E при симметрии относительно этой прямой есть искомая вершина B.

  Второй способ. Применив теорему синусов к треугольникам BCM и ACM, находим, что  a sin 2α = b sin α.  Поэтому  cos α = ^b/_2a.  Следовательно, угол α можно построить.

   Поскольку  0 < 3α < 180°,  то  0 < α < 60°.  Поэтому задача имеет решение (и притом единственное) при  a < b.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования