Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Пусть P — точка Брокара треугольника ABC. Угол  = ABP = BCP = CAP называется углом Брокара этого треугольника. Докажите, что  ctg = ctg + ctg + ctg.
б) Докажите, что точки Брокара треугольника ABC изогонально сопряжены.
в) Касательная к описанной окружности треугольника ABC в точке C и прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекаются в точке A₁. Докажите, что угол Брокара треугольника ABC равен углу A₁AC.

   Решение

---

Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на одной прямой (прямая Симсона.)

   Решение

---

Докажите, что вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла (или дуги) окружности.

   Решение

---

Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

   Решение

---

Площадь данного выпуклого четырёхугольника равна S. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного.

   Решение

Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ] [ Площадь параллелограмма ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Площадь данного выпуклого четырёхугольника равна S. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного.

Подсказка

Четырёхугольник с вершинами в серединах сторон данного — параллеллограмм.

Решение

Пусть d₁ и d₂ — диагонали данного четырёхугольника, — угол между ними. Четырёхугольник с вершинами в серединах сторон данного — параллелограмм со сторонами d₁ и d₂ и углом между ними. Его площадь равна

Пусть S — площадь данного четырёхугольника ABCD, s — площадь четырёхугольника, вершины которого — середины K, L, M и N сторон AB, BC, CD и AD соответственно.

Поскольку KL и MN — средние линии треугольников ABC и ADC, то

Поэтому

Аналогично

Следовательно,

Ответ

S.

Источники и прецеденты использования