Вершины треугольника $DEF$ лежат на разных сторонах треугольника $ABC$. Касательные, проведенные из центра вписанной в треугольник $DEF$ окружности к вневписанным окружностям треугольника $ABC$, равны. Докажите, что $4S_{DEF} \ge S_{ABC}$.

   Решение

Биссектриса одного из острых углов прямоугольного треугольника высотой, опущенной на гипотенузу, делится на отрезки, отношение которых равно
1 + ,  считая от вершины. Найдите острые углы треугольника.

   Решение

Известно, что "медные" монеты достоинством в 1, 2, 3, 5 коп. весят соответственно 1, 2, 3, 5 г. Среди четырех "медных" монет (по одной каждого достоинства) есть одна бракованная, отличающаяся весом от нормальной. Как с помощью взвешиваний на чашечных весах без гирь определить бракованную монету?

   Решение

Дан треугольник $ABC$. Пусть $I$ – центр вневписанной окружности, касающейся стороны $AB$, а $A_1$ и $B_1$ – точки касания двух других вневписанных окружностей со сторонами $BC$ и $AC$ соответственно. Пусть $M$ – середина отрезка $IC$, а отрезки $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $N$. Докажите, что точки $N$, $B_1$, $A$ и $M$ лежат на одной окружности.

   Решение

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Диагональ AC является биссектрисой угла BAD и пересекается с диагональю BD в точке K.
Найдите KC, если  BC = 4,  а  AK = 6.

   Решение

Из точки A на биссектрисе угла с вершиной L опущены перпендикуляры AK и AM на стороны угла. На отрезке KM взята точка P (K лежит между Q и L), а прямую ML – в точке S. Известно, что  ∠KLM = α,  KM = a,  QS = b.  Найдите KQ.

   Решение

Докажите, что в любом неравнобедренном треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.

   Решение

Основание треугольника равно 36. Прямая, параллельная основанию, делит площадь треугольника пополам.
Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого между сторонами треугольника.

   Решение

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Отношение площадей подобных треугольников ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Основание треугольника равно 36. Прямая, параллельная основанию, делит площадь треугольника пополам.
Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого между сторонами треугольника.

Подсказка

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Решение

Указанная прямая отсекает от данного треугольника подобный ему треугольник, площадь которого относится к площади данного как  1 : 2.  Поэтому коэффициент подобия равен . Следовательно, длина искомого отрезка равна  ·36 = 18.

Ответ

18.

Источники и прецеденты использования