Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дано 100 чисел a₁, a₂, a₃, ..., a₁₀₀, удовлетворяющих условиям:
  a₁ – 3a₂ + 2a₃ ≥ 0,
  a₂ – 3a₃ + 2a₄ ≥ 0,
  a₃ – 3a₄ + 2a₅ ≥ 0,
    ...,
  a₉₉ – 3a₁₀₀ + 2a₁ ≥ 0,
  a₁₀₀ – 3a₁ + 2a₂ ≥ 0.
Доказать, что все числа a_i равны между собой.

   Решение

---

В окружность с центром O вписана трапеция ABCD  (BC || AD).  В этой же окружности проведены диаметр CE и хорда BE, пересекающая AD в точке F. Точка H – основание перпендикуляра, опущенного из точки F на CE, S – середина отрезка EO, M – середина BD. Известно, что радиус окружности равен R, а  CH = ^9R/₈.  Найдите SM.

   Решение

---

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) проведены биссектрисы AA₁, BB₁ и CC₁. Площадь треугольника ABC относится к площади треугольника A₁B₁C₁ как . Найдите отношение периметра треугольника A₁B₁C₁ к периметру треугольника ABC.

   Решение

---

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором  ∠DAB = 90°.  Пусть M – середина стороны BC. Оказалось. что  ∠ADC = ∠BAM.
Докажите, что  ∠ADB = ∠CAM.

   Решение

---

Через точку O пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая его стороны в точках M и N. Докажите, что  NO ≤ 2MO.

   Решение

---

Положительные числа x, y и z удовлетворяют условию  xyz ≥ xy + yz + zx.  Докажите неравенство  

   Решение

---

Дана трапеция ABCD с основаниями AD = 3 и BC = . Кроме того дано, что угол BAD равен 30^o, а угол ADC равен 60^o. Через точку D проходит прямая, делящая трапецию на две равновеликие фигуры. Найдите длину отрезка этой прямой, находящегося внутри трапеции.

   Решение

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Отношения площадей ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дана трапеция ABCD с основаниями AD = 3 и BC = . Кроме того дано, что угол BAD равен 30^o, а угол ADC равен 60^o. Через точку D проходит прямая, делящая трапецию на две равновеликие фигуры. Найдите длину отрезка этой прямой, находящегося внутри трапеции.

Подсказка

Указанная прямая пересекает отрезок AB. Пусть K — точка пересечения. Найдите отношение высот треугольника AKD и трапеции.

Решение

Поскольку S_ABD = 3S_BCD, то указанная прямая пересекает отрезок AB. Пусть K — точка пересечения. Тогда

где h — высота трапеции ABCD. С другой стороны,

где h₁ — высота треугольника AKD. Поэтому = и = .

Проведём через вершину B прямую, параллельную стороне CD, до пересечения с основанием AD в точке P. Тогда

Из прямоугольного треугольника ABP находим, что

Поэтому AK = AB = 2. По теореме косинусов из треугольника AKD находим:

Следовательно, DK = 13.

Ответ

13.

Источники и прецеденты использования