Множество чисел А заданы условиями:
а) 1 принадлежит А
б) если k принадлежит А, то 2*k+1 принадлежит А и 3*k принадлежит А, и других чисел множество А не содержит.

Напечатать первые n<1000 чисел множества А в порядке возрастания. Вот начало этой распечатки: 1,3,4,7,9,10,13,15,19,...

   Решение

Имеется выпуклый многогранник со 100 рёбрами. Все его вершины срезали плоскостями-ножами близко от самих вершин (то есть так, чтобы плоскости-ножи не пересекались друг с другом внутри или на границе многогранника). Найдите у полученного многогранника
  a) число вершин;
  б) число рёбер.

   Решение

Два n-угольника вписаны в одну окружность, причем наборы длин их сторон одинаковы, но не обязательно равны соответственные стороны. Докажите, что площади этих многоугольников равны.

   Решение

На гранях двух разных правильных тетраэдров M и N написаны числа M1, M2, M3, M4 и N1, N2, N3, N4 в порядке, указанном на рис.1.3. Можно ли совместить тетраэдры так, чтобы на совпавших гранях оказались написаны одинаковые числа? Напечатать ДА или НЕТ.

   Решение

Докажите, что если внутри треугольника ABC существует точка D, для которой AD = AB, то AB < AC.

   Решение

Тема:    [ Против большей стороны лежит больший угол ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если внутри треугольника ABC существует точка D, для которой AD = AB, то AB < AC.

Подсказка

Продолжите BD до пересечения со стороной AC в точке M и докажите, что AD < AM.

Решение

Пусть прямая BD пересекает сторону AC в точке M. Треугольник ABD — равнобедренный, BD — его основание. Поэтому угол ADB -- острый. Тогда угол ADM — тупой. Следовательно,

Источники и прецеденты использования