Смешарики живут на берегах пруда в форме равностороннего треугольника со стороной 600 м. Крош и Бараш живут на одном берегу в 300 м друг от друга. Летом Лосяшу до Кроша идти 900 м, Барашу до Нюши – тоже 900 м. Докажите, что зимой, когда пруд замёрзнет и можно будет ходить прямо по льду, Лосяшу до Кроша снова будет идти столько же метров, сколько Барашу до Нюши.

   Решение

Две окружности касаются внешним образом. Найдите длину их общей внешней касательной (между точками касания), если радиусы равны 16 и 25.

   Решение

Существуют ли шесть таких последовательных натуральных чисел, что наименьшее общее кратное первых трёх из них больше, чем наименьшее общее кратное трёх следующих?

   Решение

Существует ли отличный от куба шестигранник, у которого все грани являются равными ромбами?

   Решение

Существует ли треугольник с вершинами в узлах клетчатой бумаги, каждая сторона которого длиннее 100 клеточек, а площадь меньше площади одной клеточки?

   Решение

Стороны треугольника не превосходят 1. Докажите, что его площадь не превосходит  .

   Решение

Темы:    [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Стороны треугольника не превосходят 1. Докажите, что его площадь не превосходит  .

Подсказка

Наименьший угол треугольника не превосходит 60°.

Решение

Пусть α – наименьший угол треугольника. Тогда  α ≤ 60°.  Если этот угол заключен между сторонами a и b, а S – площадь треугольника, то
S = ½ ab sin α ≤ sin 60° = .

Замечания

Площадь равностороннего треугольника со стороной, равной 1, равна  .

Источники и прецеденты использования