Версия для печати
Убрать все задачи

---

Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: a₁ – сумма исходных чисел, a₂ – сумма квадратов исходных чисел, a₃ – сумма кубов исходных чисел, и т.д.
  а) Могло ли случиться, что до a₅ последовательность убывает  (a₁ > a₂ > a₃ > a₄ > a₅),  а начиная с a₅ – возрастает  (a₅ < a₆ < a₇ < ...)?
  б) А могло ли случиться наоборот: до a₅ последовательность возрастает, а начиная с a₅ – убывает?

   Решение

---

Верхней целой частью числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Докажите, что существует такое вещественное число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2.

   Решение

---

Докажите, что
   а) если натуральное число n можно представить в виде  n = 4k + 1,  то существуют n нечётных натуральных чисел, сумма которых равна их произведению;
   б) если n нельзя представить в таком виде, то таких n нечётных натуральных чисел не существует.

   Решение

---

Аня, Боря и Вася составляли слова из заданных букв. Все составили разное число слов: больше всех – Аня, меньше всех – Вася. Затем ребята просуммировали очки за свои слова. Если слово есть у двух игроков, за него даётся 1 очко, у одного игрока – 2 очка, слова, общие у всех трёх игроков, вычёркиваются. Могло ли так случиться, что больше всех очков набрал Вася, а меньше всех – Аня?

   Решение

---

Точка M лежит на стороне AC остроугольного треугольника ABC. Вокруг треугольников ABM и CBM описываются окружности. При каком положении точки M площадь общей части ограниченных ими кругов будет наименьшей?

   Решение

Темы:    [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ] [ Площадь круга, сектора и сегмента ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка M лежит на стороне AC остроугольного треугольника ABC. Вокруг треугольников ABM и CBM описываются окружности. При каком положении точки M площадь общей части ограниченных ими кругов будет наименьшей?

Подсказка

Углы, под которыми отрезок BM виден из центров окружностей, имеют постоянную величину.

Решение

Пусть O и O₁ — центры описанных окружностей треугольников ABM и CBM. Общей частью указанных кругов является объединение двух сегментов с общей хордой BM.

Поскольку

то величины углов BOM и BO₁M постоянны. Поэтому площадь каждого из сегментов тем меньше, чем меньше хорда BM. Следовательно, площадь общей части кругов минимальна, когда BM — высота треугольника ABC.

Ответ

Точка M — основание высоты треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования