Разложите функции     и     (n ≥ 1)  в цепные дроби.
Определения многочленов Фибоначчи F_n(x) и Люка L_n(x) смотри, например, здесь.

   Решение

Сколько целых чисел от 1 до 1997 имеют сумму цифр, делящуюся на 5?

   Решение

Проверьте, что многочлены Чебышёва T_n(x) и U_n(x) (см. задачу 61099) удовлетворяют начальным условиям
T₀(x) = 1,   T₁(x) = x;   U₀(x) = 1,   U₁(x) = 2x,   и рекуррентным формулам   T_n+1(x) = 2xT_n(x) – T_n–1(x),   U_n+1(x) = 2xU_n(x) – U_n–1(x).

   Решение

Можно ли найти десять таких последовательных натуральных чисел, что сумма их квадратов равна сумме квадратов следующих за ними девяти последовательных натуральных чисел?

   Решение

Площадь треугольника ABC равна S. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника ABC.

   Решение

Стороны треугольника равны a, b, c. Докажите, что медиана, проведённая к стороне c, равна .

   Решение

Темы:    [ Удвоение медианы ] [ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Стороны треугольника равны a, b, c. Докажите, что медиана, проведённая к стороне c, равна .

Подсказка

Достройте данный треугольник до параллелограмма.

Решение

Пусть AB = c, BC = a, AC = b — стороны треугольника ABC; CM = m — медиана треугольника.

На продолжении медианы CM за точку M отложим отрезок MD, равный CM. Тогда ACBD — параллелограмм. Поэтому

m² = (2a² + 2b² - c²).

Источники и прецеденты использования