Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Даны вершины A и C равнобедренной описанной трапеции ABCD (AD| BC); известны также направления ее оснований. Постройте вершины B и D.

Вниз   Решение

Из произвольной точки M, лежащей внутри данного угла с вершиной A, опущены перпендикуляры MP и MQ на стороны угла. Из точки A опущен перпендикуляр AK на отрезок PQ. Докажите, что  $ \angle$PAK = $ \angle$MAQ.

ВверхВниз   Решение

Косинус угла между скрещивающимися прямыми AB и CD равен . Точки E и F являются серединами отрезков AB и CD соответственно, а прямая EF перпендикулярна прямым AB и CD . Найдите угол ACB , если известно, что AB = 2 , CD = 2 , EF = .

ВверхВниз   Решение

Вершина A остроугольного треугольника ABC соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A проведена высота AH. Докажите, что  $ \angle$BAH = $ \angle$OAC.

ВверхВниз   Решение

На окружности взяты точки A, B, C и D. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Докажите, что  AC . AD/AM = BC . BD/BM.

ВверхВниз   Решение

Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC равна 2 и является хордой некоторой окружности. Катет AC равен 1 и лежит внутри окружности, а его продолжение пересекает окружность в точке D, причём  CD = 3.  Найдите радиус окружности.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC на сторонах AB, BC и AD взяты соответственно точки K, L и M. Известно, что AK = 5, KB = 3, BL = 2, LC = 7, CM = 1, MA = 6, Найдите расстояние от точки M до середины KL.

Вверх   Решение

Задача 55316
Темы:    [ Теорема косинусов ]
[ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
 Из корзины
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC на сторонах AB, BC и AD взяты соответственно точки K, L и M. Известно, что AK = 5, KB = 3, BL = 2, LC = 7, CM = 1, MA = 6, Найдите расстояние от точки M до середины KL.


Подсказка

Примените теорему косинусов и формулу для медианы треугольника.


Ответ

$ {\frac{1}{2}}$$ \sqrt{\frac{3529}{21}}$.

Поскольку AB = 8, BC = 9, AC = 7, то по теореме косинусов

cos$\displaystyle \angle$A = $\displaystyle {\frac{8^{2} + 7^{2} - 9^{2}}{2\cdot 7\cdot 8}}$ = $\displaystyle {\frac{32}{16\cdot 7}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{7}}$,

cos$\displaystyle \angle$B = $\displaystyle {\frac{8^{2} + 9^{2} - 7^{2}}{2\cdot 8\cdot 9}}$ = $\displaystyle {\frac{96}{16\cdot 9}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$,

cos$\displaystyle \angle$C = $\displaystyle {\frac{9^{2} + 7^{2} - 8^{2}}{2\cdot 9\cdot 7}}$ = $\displaystyle {\frac{66}{2\cdot 63}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{11}{21}}$.

Из треугольников AKM, BKL и CML находим, что

KM2 = 52 + 62 - 2 . 5 . 6 . cos$\displaystyle \angle$A = 61 - $\displaystyle {\textstyle\frac{120}{7}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{307}{7}}$,

KL2 = 32 + 22 - 2 . 3 . 2 . cos$\displaystyle \angle$B = 13 - 8 = 5,

ML2 = 72 + 12 - 2 . 7 . 1 . cos$\displaystyle \angle$C = 50 - $\displaystyle {\textstyle\frac{22}{3}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{128}{3}}$.

Пусть P — середина KL. Из треугольника KML по формуле для медианы находим, что

MP2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(2MK2 + 2ML2 - KL2) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$$\displaystyle \left(\vphantom{2\cdot \frac{307}{7} + 2\cdot \frac{128}{3} - 5}\right.$2 . $\displaystyle {\textstyle\frac{307}{7}}$ + 2 . $\displaystyle {\textstyle\frac{128}{3}}$ - 5$\displaystyle \left.\vphantom{2\cdot \frac{307}{7} + 2\cdot \frac{128}{3} - 5}\right)$ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{84}}$$\displaystyle \left(\vphantom{6\cdot 307 + 14\cdot 128 - \frac{21}{5}}\right.$6 . 307 + 14 . 128 - $\displaystyle {\textstyle\frac{21}{5}}$$\displaystyle \left.\vphantom{6\cdot 307 + 14\cdot 128 - \frac{21}{5}}\right)$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{84}}$(1842 + 1792 - 105) = $\displaystyle {\textstyle\frac{3529}{84}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4063
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .