Выбрано 14 задач 
Убрать все задачи
Обозначим корни уравнения x² + px + q = 0 через x1, x2. Нарисуйте на фазовой плоскости Opq множества точек M(, q),
которые задаются условиями:
а) x1 = 0, x2 = 1; б) x1 ≤ 0, x2 ≥ 2;
в) x1 = x2;
г) – 1 ≤ x1 ≤ 0, 1 ≤ x2 ≤ 2.
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, углом B, равным 30o, и катетом CA = 1, проведена медиана CD. Кроме того, из точки D под углом 15o к гипотенузе проведена прямая, пересекающая отрезок BC в точке F. Найдите площадь треугольника CDF. Укажите её приближённое значение в виде десятичной дроби с точностью до 0,01.
В треугольнике ABC проведена биссектриса CQ. Около треугольника BCQ описана окружность радиуса 1/3, центр которой лежит на отрезке AC.
Найдите площадь треугольника ABC, если AQ : AB = 2 : 3.
С помощью циркуля и линейки постройте окружность данного радиуса, касающуюся двух данных окружностей.
Докажите, что для двух непересекающихся окружностей R1 и R2
цепочка из n касающихся окружностей (см. предыдущую задачу)
существует тогда и только тогда, когда угол между окружностями T1
и T2, касающимися R1 и R2 в точках их пересечения с прямой,
соединяющей центры, равен целому кратному угла
360o/n (рис.).
В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть учеников получила пятёрки, третья – четвёрки, половина – тройки. Остальные работы были оценены как неудовлетворительные. Сколько было таких работ?
Точки
A1,..., A6 лежат на одной окружности,
а точки K, L, M и N — на прямых
A1A2, A3A4, A1A6 и A4A5
соответственно, причем
KL| A2A3, LM| A3A6 и
MN| A6A5.
Докажите, что
NK| A5A2.
Имеется пирог некоторой формы. Докажите, что его можно разрезать на четыре равные по массе части двумя прямолинейными перпендикулярными разрезами.
В каком из двух уравнений сумма квадратов корней больше
а) 4x3 – 18x2 + 24x = 8, 4x3 – 18x2 + 24x = 9;
б) 4x3 – 18x2 + 24x = 11, 4x3 – 18x2 + 24x = 12?
Во вписанном четырёхугольнике ABCD известны углы: ∠DAB = α, ∠ABC = β, ∠BKC = γ, где K – точка пересечения диагоналей. Найдите угол ACD.
Прямая, проведённая через вершину C треугольника ABC параллельно его биссектрисе BD, пересекает продолжение стороны AB в точке M.
Найдите углы треугольника MBC, если ∠ABC = 110°.
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами a, a и b.
Пусть AA1, BB1, CC1 — медианы треугольника ABC. Докажите,
что
+
+
=
На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки E и F, причём ∠EAF = 45°. Отрезки AE и AF пересекают диагональ BD в точках P и Q.
Докажите, что SAEF = 2SAPQ.
|
|
 |
Условие
На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки E и F, причём ∠EAF = 45°. Отрезки AE и AF пересекают диагональ BD в точках P и Q.
Докажите, что SAEF = 2SAPQ.
Подсказка
Докажите, что EP и EQ – высоты треугольника AEF.
Решение
Поскольку отрезок PF виден из точек A и B под углом 45°, то точки A, P, F и D лежат на одной окружности, а так как ∠ADF = 90°, то AF – диаметр этой окружности. Следовательно, APF = 90° и FP – высота треугольника AEF. Аналогично EQ – высота треугольника AEF. Поэтому треугольник APQ подобен треугольнику AFE с коэффициентом cos∠EAF = cos 45°.
Следовательно, SAPQ/SAEF = (cos 45°)² = ½.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4716 |
