Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
Точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC. Внутри треугольника выбрана точка P такая, что
Докажите, что AP ≥ AI, причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда P совпадает с I.
Сторона AB треугольника ABC равна c. На стороне AB взята такая точка M, что ∠CMA = φ.
Найдите расстояние между ортоцентрами треугольников AMC и BMC.
На плоскости даны две точки A и B. Найдите
ГМТ M, для которых AM : BM = k (окружность Аполлония).
а) Через точку Лемуана K проведены прямые, параллельные сторонам
треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника
лежат на одной окружности (первая окружность Лемуана)
.
б) Через точку Лемуана K проведены прямые, антипараллельные сторонам
треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника
лежат на одной окружности (вторая окружность Лемуана).
Опустим из точки M перпендикуляры MA1, MB1 и
MC1 на прямые BC, CA и AB. Для фиксированного треугольника ABC
множество точек M, для которых угол Брокара треугольника A1B1C1 имеет
заданное значение, состоит из двух окружностей, причем одна из них расположена
внутри описанной окружности треугольника ABC, а другая вне ее
(окружности Схоуте).
Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят 50, а остальные больше 50, но не превосходят 100. При этом никакие два из них не отличаются ровно на 50. Найдите сумму этих чисел.
В 10 коробках лежат карандаши (пустых коробок нет). Известно, что в разных коробках разное число карандашей, причём в каждой коробке все карандаши разных цветов. Докажите, что из каждой коробки можно выбрать по карандашу так, что все они будут разных цветов.
Найдите геометрическое место точек M, из которых данный отрезок AB виден под прямым углом.
Известно, что доля блондинов среди голубоглазых больше чем доля блондинов
среди всех людей.
Что больше: доля голубоглазых среди блондинов или доля голубоглазых среди всех людей?
Окружность касается стороны BC треугольника ABC в точке M, а продолжений сторон AB и AC — в точках P и Q соответственно. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке K, а стороны AB — в точке L. Докажите, что:
а) отрезок AP равен полупериметру p треугольника ABC;
б) BM = CK;
в) BC = PL.
|
|
 |
Условие
Окружность касается стороны BC треугольника ABC в точке M, а продолжений сторон AB и AC — в точках P и Q соответственно. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке K, а стороны AB — в точке L. Докажите, что:
а) отрезок AP равен полупериметру p треугольника ABC;
б) BM = CK;
в) BC = PL.
Подсказка
Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны между собой.
Если окружность, вписанная в треугольник PQR, касается стороны PQ в точке S, а p — полупериметр треугольника, то PS = p - RQ.
Решение
а) Поскольку BP = BM, CQ = CM и AP = AQ, то
б)
в)
