Задача 56990

Тема:    [ Точка Лемуана ]

Сложность: 6 Классы: 9

Условие

а) Через точку Лемуана K проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника лежат на одной окружности (первая окружность Лемуана) .
б) Через точку Лемуана K проведены прямые, антипараллельные сторонам треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника лежат на одной окружности (вторая окружность Лемуана).

Решение

а) Воспользуемся обозначениями задачи 5.145B. В рассматриваемой ситуации длины отрезков A₁B₂, B₁C₂ и C₁A₂ равны, поскольку они равны половинам длин антипараллелей, проходящих через точку K, а длины этих антипараллелей равны согласно задаче 5.131. Таким образом, первая окружность Лемуана является одной из окружностей Тукера. Эта окружность соответствует случаю, когда треугольник A'B'C' вырождается в точку K. Поэтому согласно задаче 5.145B1 центром первой окружности Лемуана служит середина отрезка KO.
б) Непосредственно следует из задачи 5.131, поскольку точка Лемуана делит пополам каждую из проходящих через нее антипараллелей. Центром второй окружности Лемуана служит точка Лемуана K.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	13
Название	Точка Лемуана
Тема	Точка Лемуана
задача
Номер	05.145B2