z₂, z₁, z₀ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда     – вещественное число, или   = .

   Решение

Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений
    x² + y² + xy = a,
    x² – y² = b,
где а и b – некоторые данные действительные числа.

   Решение

В окружность радиуса 17 вписан четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны и находятся на расстоянии 8 и 9 от центра окружности. Найдите стороны четырёхугольника.

   Решение

Докажите, что при n 7 внутри выпуклого n-угольника найдется точка, сумма расстояний от которой до вершин больше периметра.

   Решение

Каждая из трёх окружностей радиуса r касается двух других. Найдите площадь фигуры, расположенной вне окружностей и ограниченной их дугами, заключёнными между точками касания.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если дана прямая, на которой лежит его сторона, и основания биссектрис, проведённых из концов этой стороны.

   Решение

Темы:    [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если дана прямая, на которой лежит его сторона, и основания биссектрис, проведённых из концов этой стороны.

Подсказка

Пусть A₁ и B₁ — основания биссектрис AA₁ и BB₁ треугольника ABC. Тогда прямая AB₁ является касательной к окружности с центром в точке A₁ и радиусом, равным расстоянию от точки A₁ до прямой AB.

Решение

Предположим, что задача решена. Пусть сторона AB треугольника ABC лежит на данной прямой l, а AA₁ и BB₁ — биссектрисы треугольника ABC. Тогда точка A₁ удалена на равные расстояния от лучей AC и AB и, следовательно, является центром окружности, вписанной в угол BAC. Аналогично для точки B₁.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим окружности с центрами в данных точках (A₁ и B₁) и радиусами, равными расстояниям от этих точек до данной прямой. Затем проводим касательные к построенным окружностям, проходящие через данные точки.

Если A₁B₁ меньше одного из расстояний от данных точек до прямой l, то задача не имеет решений. В остальных случаях задача имеет два или одно решение.

Источники и прецеденты использования