Версия для печати
Убрать все задачи

---

Выпуклый n-угольник разбит на треугольники непересекающимися диагоналями, причем в каждой его вершине сходится нечетное число треугольников. Докажите, что n делится на 3.

   Решение

---

а) На столе лежат 5 одинаковых бумажных треугольников. Каждый разрешается сдвигать в любом направлении, не поворачивая. Верно ли, что всегда каждый из этих треугольников можно накрыть четырьмя другими?
б) На столе лежат 5 одинаковых равносторонних бумажных треугольников. Каждый разрешается сдвигать в любом направлении, не поворачивая. Докажите, что каждый из этих треугольников можно накрыть четырьмя другими.

   Решение

---

Наибольший общий делитель натуральных чисел m и n равен 1. Каково наибольшее возможное значение  НОД(m + 2000n, n + 2000m)?

   Решение

---

Докажите, что в любом треугольнике точка H пересечения высот (ортоцентр), центр O описанной окружности и точка M пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка M расположена между точками O и H, и MH = 2MO.

   Решение

Темы:    [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 8,9 Название задачи: Прямая Эйлера.

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в любом треугольнике точка H пересечения высот (ортоцентр), центр O описанной окружности и точка M пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка M расположена между точками O и H, и MH = 2MO.

Подсказка

Расстояние от точки пересечения высот до вершины треугольника вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.

Решение

Пусть A₁ — середина стороны BC треугольника ABC, G — точка пересечения прямых AA₁ и OH. Воспользуемся известным фактом: AH = 2OA₁.

Из подобия треугольников A₁GO и AGH следует, что

Следовательно, G — точка пересечения медиан треугольника ABC, т.е. G совпадает с M и MH = 2MO.

Пусть AA₁, BB₁ и CC₁ — медианы, а AA₂, BB₂ и CC₂ — высоты треугольника ABC. Рассмотрим гомотетию с центром в точке M и коэффициентом - .

При этой гомотетии треугольник ABC переходит в треугольник A₁B₁C₁, а прямые AA₂, BB₂ и CC₂ — в серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC (высоты треугольника A₁B₁C₁). Поэтому точка H пересечения высот треугольника ABC переходит в точку пересечения серединных перпендикуляров этого треугольника, т.е. в центр O его описанной окружности. Следовательно, точки H и O лежат на прямой, проходящей через центр гомотетии (точку M), и MH = 2MO.

Источники и прецеденты использования