ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55755
Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Углы между биссектрисами ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На двух сторонах AB и BC правильного 2n-угольника взято по точке K и N, причём угол KEN, где E – вершина, противоположная B, равен 180°/2n. Докажите, что NE – биссектриса угла KNC.


Подсказка

На продолжениях сторон BA и BC правильного 2n-угольника за точки A и C отложим отрезки AA1 и CC1, равные BA. Точки A1, B и C1 являются вершинами другого правильного 2n-угольника. Рассмотрите поворот на угол 360°/2n вокруг точки E.


Решение 1

   Пусть O — центр вневписанной окружности треугольника KBN, касающейся стороны KN. Отрезок KN виден из точки O под углом
90° – 1/2B  = 180°/2n (см. задачу 55448). Но на биссектрисе BE угла B, очевидно, есть только одна точка, из которой отрезок KN виден под указанным углом, и по условию это — точка E. Следовательно, точки O и E совпадают и NE — биссектриса внешнего угла KNC треугольника KBN.

Решение 2

  На продолжениях сторон BA и BC правильного 2n-угольника за точки A и C отложим отрезки AA1 и CC1, равные BA. Поскольку  ∠A1BC1 = ∠ABC  и  A1B = C1B,  то точки A1, B и C1 являются вершинами другого правильного 2n-угольника, причём точка E – центр этого 2n-угольника.
  При повороте на угол 360°/2n вокруг точки E точка A1 перейдёт в точку B, точка B — в C1, а точка K – в некоторую точку K1 отрезка CC1. Тогда
EK1 = EK,  а   ∠NEK1 = ∠KEK1 – ∠KEN  = 360°/2n180°/2n = 180°/2n = ∠KEN.   Поэтому треугольники NEK1 и NEK равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,  ∠KNE = ∠K1NE = ∠CNE,  то есть NE – биссектриса угла KNC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6039

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .