На доске была начерчена трапеция ABCD (AD| BC) и проведены перпендикуляр OK из точки O пересечения диагоналей на основание AD и средняя линия EF. Затем трапецию стерли. Как восстановить чертеж по сохранившимся отрезкам OK и EF?

   Решение

В соревновании участвуют 16 боксёров. Каждый боксёр в течение одного дня может проводить только один бой. Известно, что все боксёры имеют разную силу, и что сильнейший всегда выигрывает. Докажите, что за 10 дней можно определить место каждого боксёра.
(Расписание каждого дня соревнований составляется вечером накануне и в день соревнований не изменяется.)

   Решение

Даны окружность S, точки A и B на ней и точка C хорды AB. Для каждой окружности S', касающейся хорды AB в точке C и пересекающей окружность S в точках P и Q, рассмотрим точку M пересечения прямых AB и PQ. Докажите, что положение точки M не зависит от выбора окружности S'.

   Решение

Тема:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4 Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Даны окружность S, точки A и B на ней и точка C хорды AB. Для каждой окружности S', касающейся хорды AB в точке C и пересекающей окружность S в точках P и Q, рассмотрим точку M пересечения прямых AB и PQ. Докажите, что положение точки M не зависит от выбора окружности S'.

Решение

Ясно, что  MC² = MP ^. MQ = MA ^. MB, причем точка M лежит на луче AB, если AC > BC, и на луче BA, если AC < BC. Пусть для определенности точка M лежит на луче AB. Тогда  (MB + BC)² = (MB + BA) ^. MB. Следовательно,  MB = BC²/(AB - 2BC), а значит, положение точки M не зависит от выбора окружности S'.

Источники и прецеденты использования