ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56681
Темы:    [ Три окружности одного радиуса ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Удвоение медианы ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Три окружности радиуса R проходят через точку HA, B и C — точки их попарного пересечения, отличные от H. Докажите, что:
а) H — точка пересечения высот треугольника ABC;
б) радиус описанной окружности треугольника ABC тоже равен R.

Решение

Пусть A1, B1 и C1 — центры данных окружностей (рис.). Тогда A1BC1H — ромб, а значит,  BA1 || HC1. Аналогично  B1A || HC1, поэтому  B1A || BA1 и B1ABA1 — параллелограмм.
а) Так как  A1B1 $ \perp$ CH и  A1B1 || AB, то  AB $ \perp$ CH. Аналогично доказывается, что  BC $ \perp$ AH и  CA $ \perp$ BH.
б) Так же, как было доказано, что  B1A || BA1, можно доказать, что  B1C || BC1 и  A1C || AC1; кроме того, длины всех этих шести отрезков равны R. Достроим треугольник BA1C до ромба BA1CO. Тогда AB1CO тоже ромб. Поэтому  AO = BO = CO = R, т. e. O — центр описанной окружности треугольника ABC, и ее радиус равен R.


Замечания

В "Задачнике Кванта" задача была в следующей формулировке:
Докажите, что если три окружности одинаковых радиусов проходят через некоторую точку, то три другие точки попарного пересечения этих окружностей лежат на окружности того же радиуса.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 3
Название Окружности
Тема Окружности
параграф
Номер 4
Название Три окружности одного радиуса
Тема Три окружности одного радиуса
задача
Номер 03.024
журнал
Название "Квант"
год
Год 1971
выпуск
Номер 6
Задача
Номер М87

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .