Задача 56683

Тема:    [ Три окружности одного радиуса ]

Сложность: 5 Классы: 8

Условие

Три окружности одного радиуса проходят через точку P; A, B и Q — точки их попарного пересечения. Четвертая окружность того же радиуса проходит через точку Q и пересекается с двумя другими в точках C и D. При этом треугольники ABQ и CDP остроугольные, а четырехугольник ABCD выпуклый (рис.). Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Решение

Так как  AP + BP + PQ = 180^o (см. задачу 3.25), то  AB = 180^o - PQ. Аналогично  CD = 180^o - PQ, т. е.  AB = CD, а значит, AB = CD. Кроме того,  PQ AB и  PQ CD (см. задачу 3.24), поэтому  AB || CD.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	4
Название	Три окружности одного радиуса
Тема	Три окружности одного радиуса
задача
Номер	03.026