По кругу стоят мальчики и девочки (есть и те, и другие), всего 20 детей. Известно, что у каждого мальчика сосед по часовой стрелке – ребёнок в синей футболке, а у каждой девочки сосед против часовой стрелки – ребёнок в красной футболке. Можно ли однозначно установить, сколько в круге мальчиков?

   Решение

Темы:    [ Окружности, вписанные в сегмент ] [ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности, вписанные в сегмент AB данной окружности, пересекаются в точках M и N. Докажите, что прямая MN проходит через середину C дополнительной дуги данного сегмента AB.

Решение

Согласно задаче 56699 б) длины касательных, проведённых из точки C к вписанным окружностям, равны. Следовательно, точка C лежит на радикальной оси этих окружностей, то есть
на прямой MN.

Замечания

Если окружности не пересекаются, а касаются, утверждение остается верным; в этом случае прямую MN нужно заменить на касательную к окружностям в их общей точке.

Источники и прецеденты использования