ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи У мамы два яблока, три груши и четыре апельсина. Каждый день в течение девяти дней подряд она дает сыну один из оставшихся фруктов. Астрономический прожектор освещает октант (трёхгранный угол, у которого все плоские углы прямые). Прожектор помещён в центр куба. Можно ли его повернуть таким образом, чтобы он не освещал ни одной вершины куба? Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом. Постройте окружность с данным центром, касающуюся
данной окружности.
Даны отрезки, длины которых равны a, b и c. Постройте
отрезок длиной: a) ab/c; б) Основание равнобедренного треугольника составляет четверть его периметра. Из произвольной точки основания проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Во сколько раз периметр треугольника больше периметра отсечённого параллелограмма? Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD можно
вписать в окружность тогда и только тогда, когда
Постройте треугольник ABC по стороне a, высоте ha и
углу A.
В выпуклом четырехугольнике ABCD взят четырехугольник KLMN, образованный центрами тяжести треугольников ABC, BCD, DBA и CDA. Доказать, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника ABCD, пересекаются в той же точке, что и прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника KLMN.
В каком месте следует построить мост MN через реку, разделяющую две данные деревни A и B, чтобы путь AMNB из деревни A в деревню B был кратчайшим (берега реки считаются параллельными прямыми, мост предполагается перпендикулярным к реке).
Рассмотрим всевозможные равносторонние треугольники PKM,
вершина P которых фиксирована, а вершина K лежит в данном
квадрате. Найдите геометрическое место вершин M.
Озеро имеет форму невыпуклого |
Задача 56705
УсловиеНа стороне BC треугольника ABC взята точка D. Окружность S1 касается
отрезков BE и EA и описанной окружности, окружность S2 касается отрезков
CE и EA и описанной окружности. Пусть I, I1, I2 и r, r1, r2
-- центры и радиусы вписанной окружности и окружностей S1, S2;
РешениеПусть E1 и E2 — основания перпендикуляров, опущенных из точек I1 и
I2 на прямую AC. Согласно задаче 3.46 точка I является точкой
пересечения прямой, проходящей через точку E1 и точку касания прямой BD и
окружности S1, и прямой, проходящей через точку E2 и точку касания
прямой BD и окружности S2. Пусть F1 — точка пересечения прямых
E1I1 и E2I, F2 — точка пересечения прямых E2I2 и E1I.
Ясно, что
DI1
I1I : II2 = E1F1 : E2F2 = E1E2tg
Пусть E — проекция точки I на прямую AC. Тогда r = IE. Согласно задаче 1.1 б)
IE =
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке