Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 12 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

У мамы два яблока, три груши и четыре апельсина. Каждый день в течение девяти дней подряд она дает сыну один из оставшихся фруктов.
Сколькими способами это может быть сделано?

Вниз   Решение


Астрономический прожектор освещает октант (трёхгранный угол, у которого все плоские углы прямые). Прожектор помещён в центр куба. Можно ли его повернуть таким образом, чтобы он не освещал ни одной вершины куба?

ВверхВниз   Решение


Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом.
Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет лишь через целое число часов.

ВверхВниз   Решение


Постройте окружность с данным центром, касающуюся данной окружности.

ВверхВниз   Решение


Даны отрезки, длины которых равны a, b и c. Постройте отрезок длиной: a) ab/c; б) $ \sqrt{ab}$.

ВверхВниз   Решение


Основание равнобедренного треугольника составляет четверть его периметра. Из произвольной точки основания проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Во сколько раз периметр треугольника больше периметра отсечённого параллелограмма?

ВверхВниз   Решение


Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда  $ \angle$ABC + $ \angle$CDA = 180o.

ВверхВниз   Решение


Постройте треугольник ABC по стороне a, высоте ha и углу A.

ВверхВниз   Решение


В выпуклом четырехугольнике ABCD взят четырехугольник KLMN, образованный центрами тяжести треугольников ABC, BCD, DBA и CDA. Доказать, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника ABCD, пересекаются в той же точке, что и прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника KLMN.

ВверхВниз   Решение


В каком месте следует построить мост MN через реку, разделяющую две данные деревни A и B, чтобы путь AMNB из деревни A в деревню B был кратчайшим (берега реки считаются параллельными прямыми, мост предполагается перпендикулярным к реке).

ВверхВниз   Решение


Рассмотрим всевозможные равносторонние треугольники PKM, вершина P которых фиксирована, а вершина K лежит в данном квадрате. Найдите геометрическое место вершин M.

ВверхВниз   Решение


Озеро имеет форму невыпуклого n-угольника. Докажите, что множество точек озера, из которых видны все его берега, либо пусто, либо заполняет внутренность выпуклого m-угольника, где mn.

Вверх   Решение

Задача 56705
Тема:    [ Окружности, вписанные в сегмент ]
Сложность: 8
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На стороне BC треугольника ABC взята точка D. Окружность S1 касается отрезков BE и EA и описанной окружности, окружность S2 касается отрезков CE и EA и описанной окружности. Пусть I, I1, I2 и r, r1, r2 -- центры и радиусы вписанной окружности и окружностей S1, S2; $ \varphi$ = $ \angle$ADB. Докажите, что точка I лежит на отрезке I1I2, причём I1I : II2 = tg2$ {\frac{\varphi }{2}}$. Докажите также, что r = r1cos2$ {\frac{\varphi }{2}}$ + r2sin2$ {\frac{\varphi }{2}}$ (Тебо).

Решение

Пусть E1 и E2 — основания перпендикуляров, опущенных из точек I1 и I2 на прямую AC. Согласно задаче 3.46 точка I является точкой пересечения прямой, проходящей через точку E1 и точку касания прямой BD и окружности S1, и прямой, проходящей через точку E2 и точку касания прямой BD и окружности S2. Пусть F1 — точка пересечения прямых E1I1 и E2I, F2 — точка пересечения прямых E2I2 и E1I. Ясно, что DI1$ \bot$E1I, DI2$ \bot$E2I и DI1$ \bot$DI2. Поэтому I1D || F1E2 и I2D || F2E1. Следовательно, E1I1 : I1F1 = E1D : DE2 = F2I2 : I2E2. Это означает, что точка I лежит на отрезке I1I2, причем

I1I : II2 = E1F1 : E2F2 = E1E2tg$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ : E1E2ctg$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ = tg2$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$.


Пусть E — проекция точки I на прямую AC. Тогда r = IE. Согласно задаче 1.1 б)

IE = $\displaystyle {\frac{I_1E_1{\rm ctg}\frac{\varphi }{2}+I_2E_2{\rm tg}\frac{\varphi }{2}}{{\rm tg}\frac{\varphi }{2}+{\rm ctg}\frac{\varphi }{2}}}$ = r1cos2$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ + r2sin2$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 3
Название Окружности
Тема Окружности
параграф
Номер 8
Название Окружности, вписанные в сегмент
Тема Окружности, вписанные в сегмент
задача
Номер 03.047B

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .