В треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины — на боковых сторонах треугольника. Доказать, что сторона квадрата меньше 2r, но больше r, где r — радиус окружности, вписанной в треугольник.

   Решение

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Три окружности попарно касаются внешним образом в точках A, B и C. Докажите, что описанная окружность треугольника ABC перпендикулярна всем трем окружностям.

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — центры данных окружностей, причем точки A, B и C лежат на отрезках  B₁C₁, C₁A₁ и A₁B₁ соответственно. Так как  A₁B = A₁C, B₁A = B₁C и C₁A = C₁B, то A, B и C — точки касания вписанной окружности треугольника A₁B₁C₁ с его сторонами (см. задачу 5.1). Таким образом, радиусы A₁B, B₁C и C₁A данных окружностей касаются описанной окружности треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования