Даны окружность, прямая и точки A, A', B, B', C, C', M, лежащие на этой прямой. Согласно задачам 30.1 и 30.3 существует единственное проективное преобразование данной прямой на себя, отображающее точки A, B, C соответственно в A', B', C'. Обозначим это преобразование через P. Постройте при помощи одной линейки а) точку P(M); б) неподвижные точки отображения P (задача Штейнера).

   Решение

На сторонах AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки E и F. Пусть K, L, M и N — середины отрезков DE, BF, CE и AF. Докажите, что четырехугольник KLMN выпуклый и его площадь не зависит от выбора точек E и F.

   Решение

Тема:    [ Площадь (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки E и F. Пусть K, L, M и N — середины отрезков DE, BF, CE и AF. Докажите, что четырехугольник KLMN выпуклый и его площадь не зависит от выбора точек E и F.

Решение

Отрезки KM и LN являются средними линиями треугольников CED и AFB, поэтому они имеют общую точку — середину отрезка EF. Кроме того,  KM = CD/2, LN = AB/2 и угол между прямыми KM и LN равен углу  между прямыми AB и CD. Поэтому площадь четырехугольника KLMN равна  AB ^. CD sin/8.

Источники и прецеденты использования