На отрезке MN построены подобные, одинаково ориентированные треугольники AMN, NBM и MNC (см. рис.).
Докажите, что треугольник ABC подобен всем этим треугольникам, а центр его описанной окружности равноудален от точек M и N.

   Решение

В ребусе ЯЕМЗМЕЯ = 2020 замените каждую букву в левой части равенства цифрой или знаком арифметического действия (одинаковые буквы одинаково, разные – по-разному) так, чтобы получилось верное равенство. Достаточно привести один пример, пояснений не требуется.

   Решение

Внутри остроугольного треугольника ABC дана точка P, причём APB = ACB + 60^o, BPC = BAC + 60^o, CPA = CBA + 60^o. Докажите, что точки пересечения продолжений отрезков AP, BP и CP (за точку P) с описанной окружностью треугольника ABC лежат в вершинах равностороннего треугольника.

   Решение

За круглым вращающимся столом, на котором стоят 8 белых и 7 чёрных чашек, сидят 15 гномов. Они надели 8 белых и 7 чёрных колпачков. Каждый гном берёт себе чашку, цвет которой совпадает с цветом его колпачка, и ставит напротив себя, после этого стол поворачивается случайным образом. Какое наибольшее число совпадений цвета чашки и колпачка можно гарантировать после поворота стола (гномы сами выбирают, как сесть, но не знают, как повернётся стол)?

   Решение

Темы:    [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC с прямым углом C проведены высота CD и биссектриса CF; DK и DL – биссектрисы треугольников BDC и ADC.
Докажите, что CLFK – квадрат.

Решение

Отрезки CF и DK являются биссектрисами подобных треугольников ACB и CDB, поэтому  AB : FB = CB : KB.  Следовательно,  FK || AC.  Аналогично доказывается, что  LF || CB.  Поэтому CLFK – прямоугольник, у которого диагональ CF является биссектрисой угла LCK, то есть он – квадрат.

Источники и прецеденты использования