Версия для печати
Убрать все задачи

---

Можно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки?

   Решение

---

Коля Васин задумал число от 1 до 200. За какое наименьшее число вопросов вы сможете его отгадать, если он отвечает на каждый вопрос
а) ``да'' или ``нет'';
б) ``да'', ``нет'' или ``не знаю''?

   Решение

---

Докажите, что связный граф с 2n нечётными вершинами можно нарисовать, оторвав карандаш от бумаги ровно  n –1  раз и не проводя никакое ребро дважды.

   Решение

---

Все углы выпуклого многоугольника A₁...A_n равны, и из некоторой его внутренней точки O все стороны видны под равными углами.
Докажите, что этот многоугольник правильный.

   Решение

---

Для последовательности {a_n}

Докажите, что a_n = 0.

   Решение

---

Аня, Ваня и Саня сели в автобус, не имея медных монет, однако сумели заплатить за проезд, потратив по пять копеек каждый. Как им это удалось?

   Решение

---

При каких натуральных a и b число log_ab будет рациональным?

   Решение

---

Дана квадратная сетка на плоскости и треугольник с вершинами в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в треугольнике — число рациональное.

   Решение

---

Постройте прямоугольник с данным отношением сторон, зная по одной точке на каждой из его сторон.

   Решение

---

Длины всех сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, причем наибольший общий делитель этих чисел равен 1. Докажите, что его катеты равны 2mn и m² - n², а гипотенуза равна m² + n², где m и n — натуральные числа.

   Решение

Тема:    [ Целочисленные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Длины всех сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, причем наибольший общий делитель этих чисел равен 1. Докажите, что его катеты равны 2mn и m² - n², а гипотенуза равна m² + n², где m и n — натуральные числа.

Решение

Пусть a и b — катеты, c — гипотенуза данного треугольника. Если числа a и b нечетные, то a² + b² при делении на 4 дает остаток 2 и не может быть квадратом целого числа. Поэтому одно из чисел a и b четное, а другое нечетное; пусть для определенности a = 2p. Числа b и c нечетные, поэтому c + b = 2q и c - b = 2r. Следовательно  4p² = a² = c² - b² = 4qr. Если бы числа q и r имели общий делитель d, то на d делились бы числа  a = 2, b = q - r и c = q + r. Поэтому числа q и r взаимно просты, а так как p² = qr, то q = m² и r = n². В итоге получаем  a = 2mn, b = m² - n² и c = m² + n².
Легко проверить также, что если  a = 2mn, b = m² - n² и c = m² + n², то  a² + b² = c².

Источники и прецеденты использования