На наибольшей стороне AB треугольника ABC взяли такие точки P и Q, что  AQ = AC,  BP = BC.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника PQC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Даны 4 точки: A, B, C, D. Найти такую точку O, что сумма расстояний от неё до данных точек минимальна.

   Решение

В описанном четырёхугольнике ABCD  AB = CD ≠ BC.  Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке L. Докажите, что угол ALB острый.

   Решение

Постройте правильный десятиугольник.

   Решение

Прямая, проходящая через вершину A квадрата ABCD, пересекает сторону CD в точке E и прямую BC в точке F. Докажите, что  ¹/_AE² + ¹/_AF² = ¹/_AB².

   Решение

Имеется бесконечная шахматная доска. Обозначим через  (a, b)  поле, расположенное на пересечении горизонтали с номером a и вертикали с номером b. Фишка с поля  (a, b)  может сделать ход на любое из восьми полей:  (a ± m, b ± n),  (a ± n, b ± m),  где m, n – фиксированные числа, а "+" и "–" комбинируются произвольно. Сделав x ходов, фишка вернулась на исходное поле. Доказать, что x чётно.

   Решение

а) Укажите два прямоугольных треугольника, из которых можно сложить треугольник, длины сторон и площадь которого — целые числа.
б) Докажите, что если площадь треугольника — целое число, а длины сторон — последовательные натуральные числа, то этот треугольник можно сложить из двух прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами.

   Решение

Тема:    [ Целочисленные треугольники ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

а) Укажите два прямоугольных треугольника, из которых можно сложить треугольник, длины сторон и площадь которого — целые числа.
б) Докажите, что если площадь треугольника — целое число, а длины сторон — последовательные натуральные числа, то этот треугольник можно сложить из двух прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами.

Решение

а) Длины гипотенуз прямоугольных треугольников с катетами 5 и 12, 9 и 12 равны 13 и 15. Приложив равные катеты этих треугольников друг к другу, получим треугольник площади  12(5 + 9)/2 = 84.
б) Предположим сначала, что длина наименьшей стороны данного треугольника — четное число, т. е. длины сторон треугольника равны  2n, 2n + 1, 2n + 2. Тогда по формуле Герона 16S² = (6n+3)(2n+3)(2n+1)(2n-1) = 4(3n²+6n+2)(4n²-1) + 4n² - 1. Получено противоречие, так как число, стоящее в правой части, не делится на 4. Следовательно, длины сторон треугольника равны 2n - 1, 2n и 2n + 1, причем  S² = 3n²(n² - 1). Поэтому S = nk, где k — целое число, и  k² = 3(n² - 1). Ясно также, что k — длина высоты, опущенной на сторону 2n. Эта высота делит исходный треугольник на два прямоугольных треугольника с общим катетом k и гипотенузами 2n + 1 и 2n - 1; квадраты длин других катетов этих треугольников равны  (2n±1)² - k² = 4n²±4n + 1 - 3n² + 3 = (n±2)².

Источники и прецеденты использования