Решите в натуральных числах уравнение  (1 + n^k)^l = 1 + n^m,  где  l > 1.

   Решение

На экране компьютера напечатано некоторое натуральное число, кратное 7, и отмечен курсором промежуток между какими-то двумя его соседними цифрами.
Докажите, что существует такая цифра, что если её впечатать в отмеченный промежуток любое число раз, получится число, делящееся на 7.

   Решение

Касательная в точке B к описанной окружности S треугольника ABC пересекает прямую AC в точке K. Из точки K проведена вторая касательная KD к окружности S. Докажите, что BD — симедиана треугольника ABC.

   Решение

Тема:    [ Точка Лемуана ]

Сложность: 4 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Касательная в точке B к описанной окружности S треугольника ABC пересекает прямую AC в точке K. Из точки K проведена вторая касательная KD к окружности S. Докажите, что BD — симедиана треугольника ABC.

Решение

Возьмем на отрезках BC и BA точки A₁ и C₁ так, что  A₁C₁| BK. Так как  BAC = CBK = BA₁C₁ и  BCA = BC₁A₁, то отрезок A₁C₁ антипараллелен стороне AC. С другой стороны, согласно задаче 3.31, б) прямая BD делит отрезок A₁C₁ пополам.

Источники и прецеденты использования