В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна b. Расстояние между основаниями биссектрис треугольника, проведённых к боковым сторонам, равно m. Найдите основание треугольника.

   Решение

Существует ли треугольник, который можно разрезать: а) на 3 равных треугольника, подобных исходному?; б) на 5 треугольников, подобных исходному (не обязательно равных)?

   Решение

Докажите неравенства:
  а)   n(x₁ + ... + x_n) ≥ ( + ... + )²
  б)   ≤ + ... + ;
  в)  

  г)     (неравенство Минковского).
  Значения переменных считаются положительными.

   Решение

Дан треугольник ABC, в котором  ∠A = α,  ∠B = β.  На стороне AB взята точка D, а на стороне AC – точка M, причём CD – биссектриса треугольника ABC,
DM || BC  и  AM = a.  Найдите CM.

   Решение

Cерединный перпендикуляр к стороне $AC$ треугольника $ABC$ пересекает прямые $BC$, $AB$ в точках $A_{1}$ и $C_{1}$ соответственно. Точки $O$, $O_{1}$ – центры описанных окружностей треугольников $ABC$ и $A_{1}BC_{1}$ соответственно. Докажите, что $C_{1}O_1\perp AO$.

   Решение

Через точку D основания AB равнобедренного треугольника ABC проведена прямая CD, пересекающая его описанную окружность в точке E.
Найдите AC, если  CE = 3  и  DE = DC.

   Решение

Тема:    [ Треугольник (построения) ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте треугольник ABC по радиусу вписанной окружности r и (ненулевым) длинам отрезков AO и AH, где O — центр вписанной окружности, H — ортоцентр.

Решение

Предположим, что треугольник ABC построен. Пусть B₁ — точка касания вписанной окружности со стороной AC. В прямоугольном треугольнике AOB₁ известны катет OB₁ = r и гипотенуза AO, поэтому можно построить угол OAB₁, а значит, и угол BAC. Пусть O₁ — центр описанной окружности треугольника ABC, M — середина стороны BC. В прямоугольном треугольнике BO₁M известны катет O₁M = AH/2 (см. решение задачи 5.105) и угол BO₁M (он равен A или  180^o - A), поэтому его можно построить. Затем можно определить длину отрезка  OO₁ = (см. задачу 5.11, а)). Итак, можно построить отрезки длиной R и OO₁ = d.
После этого возьмем отрезок AO и построим точку O₁, для которой AO₁ = R и OO₁ = d (таких точек может быть две). Проведем из точки A касательные к окружности радиуса r с центром O. Искомые точки B и C лежат на этих касательных, удалены от точки O₁ на расстояние R и, разумеется, отличны от точки A.

Источники и прецеденты использования