Две окружности радиусов R и r пересекаются в точках A и B и касаются прямой в точках C и D; N — точка пересечения прямых AB и CD (B между A и N). Найдите:

1) радиус окружности, описанной около треугольника ACD;

2) отношение высот треугольников NAC и NAD, опущенных из вершины N.

   Решение

Меньшая сторона прямоугольника равна 1, острый угол между диагоналями равен 60^o. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника.

   Решение

Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC , AOC = 60^o . Найдите угол AMC , где M — центр окружности, вписанной в треугольник ABC .

   Решение

В треугольной пирамиде два противоположных ребра равны 12 и 4, а остальные рёбра равны 7. В пирамиду вписана сфера. Найдите расстояние от центра сферы до ребра, равного 12.

   Решение

В прямоугольный треугольник вписана окружность. Гипотенуза делится точкой касания на отрезки, равные 5 и 12. Найдите площадь треугольника.

   Решение

В прямоугольной трапеции меньшее основание равно высоте, а большее основание равно a. Найдите боковые стороны трапеции, если известно, что одна из них касается окружности, проходящей через концы меньшего основания и касающейся большего основания.

   Решение

Вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром $I$ касается его сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Вневписанная окружность с центром $J$ касается стороны $AC$ в точке $B_2$ и продолжений сторон $AB$ и $BC$ в точках $C_2$ и $A_2$ соответственно. Пусть прямые $IB_2$ и $JB_1$ пересекаются в точке $X$, прямые $IC_2$ и $JC_1$ – в точке $Y$, прямые $IA_2$ и $JA_1$ – в точке $Z$. Докажите, что если одна из точек $X$, $Y$, $Z$ лежит на вписанной окружности, то и две другие тоже.

   Решение

Тема:    [ Экстремальные свойства правильных многоугольников ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что среди всех n-угольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет правильный n-угольник.
б) Докажите, что среди всех n-угольников, вписанных в данную окружность, наибольший периметр имеет правильный n-угольник.

Решение

а) Обозначим длину стороны правильного n-угольника, вписанного в данную окружность, через a_n. Рассмотрим произвольный неправильный n-угольник, вписанный в эту окружность. У него обязательно найдется сторона длиной меньше a_n. А вот стороны длиной больше a_n у него может и не быть, но тогда этот многоугольник можно заключить в сегмент, отсекаемый стороной правильного n-угольника. Так как при симметрии относительно стороны правильного n-угольника сегмент, отсекаемый этой стороной, попадает внутрь n-угольника, площадь n-угольника больше площади сегмента. Поэтому можно считать, что у рассматриваемого n-угольника есть сторона длиной меньше a_n и сторона длиной больше a_n.
Мы можем поменять местами соседние стороны n-угольника, т. е. вместо многоугольника A₁A₂A₃...A_n взять многоугольник A₁A₂'A₃...A_n, где точка A₂' симметрична точке A₂ относительно серединного перпендикуляра к отрезку A₁A₃ (рис.). При этом оба многоугольника вписаны в одну и ту же окружность и их площади равны. Ясно, что с помощью этой операции можно сделать соседними любые две стороны многоугольника. Поэтому будем считать, что у рассматриваемого n-угольника A₁A₂ > a_n и A₂A₃ < a_n. Пусть A₂' — точка, симметричная точке A₂ относительно серединного перпендикуляра к отрезку A₁A₃. Если точка A₂'' лежит на дуге A₂A₂', то разность углов при основании A₁A₃ у треугольника A₁A₂''A₃ меньше, чем у треугольника A₁A₂A₃, так как величины углов A₁A₃A₂'' и  A₃A₁A₂'' заключены между величинами углов A₁A₃A₂ и A₃A₁A₂. Поскольку A₁A₂' < a_n и A₁A₂ > a_n, то на дуге A₂A₂' существует точка A₂'', для которой A₁A₂'' = a_n. Площадь треугольника A₁A₂''A₃ больше площади треугольника A₁A₂A₃ (см. задачу 11.47, а)). Площадь многоугольника A₁A₂''A₃...A_n больше площади исходного многоугольника, и у него по крайней мере на 1 больше число сторон, равных a_n. За конечное число шагов мы придем к правильному n-угольнику, причем каждый раз площадь увеличивается. Следовательно, площадь любого неправильного n-угольника, вписанного в окружность, меньше площади правильного n-угольника, вписанного в ту же окружность.
б) Доказательство аналогично предыдущему, нужно только воспользоваться результатом задачи 11.47, б), а не задачи 11.47, а).

Источники и прецеденты использования