В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 15 и катет BC = 20. На гипотенузе AB отложен отрезок AD, равный 4, и точка D соединена с C. Найдите CD.

   Решение

В треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D; прямая, проведённая через точку D параллельно CA, пересекает сторону AB в точке E; прямая, проведённая через точку E параллельно BC, пересекает сторону AC в F. Докажите, что  EA = FC.

   Решение

Сторона треугольника равна 2, а две другие стороны образуют угол в 30^o и относятся как 1 : 2. Найдите эти стороны.

   Решение

Через вершину C параллелограмма ABCD проведена произвольная прямая, пересекающая продолжения сторон AB и AD в точках K и M соответственно. Докажите, что произведение BK·DM не зависит от того, как проведена эта прямая.

   Решение

Найдите периметр четырехугольника ABCD, в котором AB = CD = a, BAD = BCD = < 90^o, BC AD.

   Решение

В прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 26, вписана окружность радиуса 4. Найдите периметр треугольника.

   Решение

Докажите, что  a(b + c) = (r + r_a)(4R + r - r_a) и  a(b - c) = (r_b - r_c)(4R - r_b - r_c).

   Решение

Тема:    [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что  a(b + c) = (r + r_a)(4R + r - r_a) и  a(b - c) = (r_b - r_c)(4R - r_b - r_c).

Решение

Пусть углы треугольника ABC равны  2, 2 и 2. Согласно задачам 12.36, а) и 12.37, б)  r = 4R sinsinsin и  r_a = 4R sincoscos. Поэтому  (r + r_a)(4R + r - r_a) = 16R²sin(sinsin + coscos)(1 + sin(sinsin - coscos)) = 16R²sincos( - )(1 - sincos( + )) = 16R²sincos( - )cos². Остается заметить, что  4R sincos = a и  4R sin( + )cos( - ) = 2R(sin 2 + sin 2) = b + c. Второе равенство доказывается аналогично.

Источники и прецеденты использования