ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57647
Темы:    [ Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее) ]
[ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Вневписанные окружности ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.

Решение

Пусть медиана BM треугольника ABC пересекает вписанную окружность в точках K и L, причем  BK = KL = LM = x. Пусть для определенности тоска касания вписанной окружности со стороной AC лежит на отрезке MC. Тогда, так как при симметрии относительно серединного перпендикуляра к отрезку BM точки B и M переходят друг в друга, а вписанная окружность переходит в себя, касательная MC переходит в касательную BC. Следовательно,  BC = MC = AC/2, т. е. b = 2a.
Так как  BM2 = (2a2 + 2c2 - b2)/4 (см. задачу 12.11, а)), то  9x2 = (2a2+2c2-4a2)/4 = (c2 - a2)/2. Пусть точка P — точка касания вписанной окружности со стороной BC. Тогда  BP = (a + c - b)/2 = (c - a)/2. С другой стороны, по свойству касательной  BP2 = BK . BL, т. е. BP2 = 2x2. Поэтому  2x2 = ((c - a)/2)2. Перемножая равенства  9x2 = (c2 - a2)/2 и  ((c - a)/2)2 = 2x2, получаем  (c + a)/(c - a) = 9/4, т. е. c : a = 13 : 5. В итоге получаем, что  a : b : c = 5 : 10 : 13.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 12
Название Вычисления и метрические соотношения
Тема Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер 8
Название Окружности
Тема Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)
задача
Номер 12.064
журнал
Название "Квант"
год
Год 1972
выпуск
Номер 2
Задача
Номер М128

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .