Задача 57647

Темы:    [ Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее) ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.

Решение

Пусть медиана BM треугольника ABC пересекает вписанную окружность в точках K и L, причем  BK = KL = LM = x. Пусть для определенности тоска касания вписанной окружности со стороной AC лежит на отрезке MC. Тогда, так как при симметрии относительно серединного перпендикуляра к отрезку BM точки B и M переходят друг в друга, а вписанная окружность переходит в себя, касательная MC переходит в касательную BC. Следовательно,  BC = MC = AC/2, т. е. b = 2a.
Так как  BM² = (2a² + 2c² - b²)/4 (см. задачу 12.11, а)), то  9x² = (2a²+2c²-4a²)/4 = (c² - a²)/2. Пусть точка P — точка касания вписанной окружности со стороной BC. Тогда  BP = (a + c - b)/2 = (c - a)/2. С другой стороны, по свойству касательной  BP² = BK ^. BL, т. е. BP² = 2x². Поэтому  2x² = ((c - a)/2)². Перемножая равенства  9x² = (c² - a²)/2 и  ((c - a)/2)² = 2x², получаем  (c + a)/(c - a) = 9/4, т. е. c : a = 13 : 5. В итоге получаем, что  a : b : c = 5 : 10 : 13.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	8
Название	Окружности
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)
задача
Номер	12.064
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1972
выпуск
Номер	2
Задача
Номер	М128