На бесконечном листе клетчатой бумаги N клеток окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате K площадь черных клеток составит не менее  1/5 и не более  4/5 площади K.

   Решение

Докажите, что = tgtg.

   Решение

Докажите, что площадь любого выпуклого четырехугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон.

   Решение

Тема:    [ Симметриия и неравенства и экстремумы ]

Сложность: 4 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что площадь любого выпуклого четырехугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон.

Решение

Пусть D' — точка, симметричная точке D относительно серединного перпендикуляра к отрезку AC. Тогда S_ABCD = S_ABCD' = S_BAD' + S_BCD'AB ^. AD'/2 + BC ^. CD'/2 = (AB ^. CD + BC ^. AD)/2.

Источники и прецеденты использования