На каждой клетке доски 10×10 стоит фишка. Разрешается выбрать диагональ, на которой стоит чётное число фишек, и снять с неё любую фишку.
Какое наибольшее число фишек можно убрать с доски такими операциями?

   Решение

На клетчатой бумаге написана таблица, причём в каждой клетке стоит число, равное среднему арифметическому четырёх чисел, стоящих в соседних клетках. Все числа в таблице различны. Докажите, что наибольшее число стоит с края (то есть по крайней мере одна из соседних клеток отсутствует).

   Решение

Разложить на целые рациональные множители выражение  a¹⁰ + a⁵ + 1.

   Решение

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники A₁BC, AB₁C и ABC₁. Докажите, что AA₁ = BB₁ = CC₁.

   Решение

На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены внешним образом правильные треугольники BCP и CDQ. Докажите, что треугольник APQ правильный.

   Решение

На бирже Цветочного города 1 лимон и 1 банан можно обменять на 2 апельсина и 23 вишни, а 3 лимона – на 2 банана, 2 апельсина и 14 вишен. Что дороже: лимон или банан?

   Решение

Точки А, В и С лежат на прямой m, а точки D и Е на ней не лежат. Известно, что AD = AE и BD = BE. Докажите, что CD = CE.

   Решение

Докажите, что середины сторон правильного многоугольника образуют правильный многоугольник.

   Решение

Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все стороны невыпуклого:
  а) (2n+1)-угольника;  б) 2n-угольника?

   Решение

Темы:    [ Четность и нечетность ] [ Произвольные многоугольники ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все стороны невыпуклого:
  а) (2n+1)-угольника;  б) 2n-угольника?

Решение

  а) Первый способ. Будем двигаться вдоль прямой в одном направлении. При каждом пересечении границы многоугольника мы переходит снаружи многоугольника внутрь или изнутри наружу. Поскольку оба "конца" прямой находятся снаружи многоугольника, мы пересечём границу чётное число раз. Значит, мы не можем пересечь все стороны (их нечётное число, а дважды одну сторону пересечь нельзя).
  Второй способ. См. задачу 30285.

  б) Из рисунка видно, как при любом n построить 2n-угольник и прямую, пересекающую все его стороны.

Ответ

а) Не может;  б) может.

Источники и прецеденты использования