Информация о задаче

Выбрано 10 задач

Произведение некоторых 1986 натуральных чисел имеет ровно 1985 различных простых делителей.
Доказать, что либо одно из этих чисел, либо произведение нескольких из них является квадратом натурального числа.

Решение

Внутри равностороннего треугольника ABC находится точка O. Прямая OG, соединяющая O с центром тяжести (точкой пересечения медиан) G треугольника, пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках A', B', C'. Доказать, что

$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$ + $\displaystyle {\frac{OB'}{GB'}}$ + $\displaystyle {\frac{OC'}{GC'}}$ = 3.

Решение

Число x оканчивается на 5. Доказать, что x² оканчивается на 25.

Решение

На плоскости даны четыре прямые, из которых никакие две не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке. По каждой прямой с постоянной скоростью идёт пешеход. Известно, что первый встречается со вторым, с третьим и с четвёртым, а второй встречается с третьим и с четвёртым. Доказать, что третий пешеход встретится с четвёртым.

Решение

Произведение некоторых 48 натуральных чисел имеет ровно 10 различных простых делителей.
Докажите, что произведение некоторых четырёх из этих чисел является квадратом натурального числа.

Решение

Проекции плоского выпуклого многоугольника на ось OX, биссектрису 1-го и 3-го координатных углов, ось OY и биссектрису 2-го и 4-го координатных углов соответственно равны 4, 3 $\sqrt{2}$ , 5, 4 $\sqrt{2}$ . Площадь многоугольника равна S. Доказать, что S $\ge$ 10.

Решение

Плоский многоугольник A₁A₂...A_n составлен из n твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Доказать, что если n > 4, то его можно деформировать в треугольник.

Решение

10 книг стоят больше 11 рублей, а 9 книг стоят меньше 10 рублей. Сколько стоит одна книга?

Решение

Решить в натуральных числах уравнение x^2y–1 + (x + 1)^2y–1 = (x + 2)^2y–1.

Решение

Можно ли какой-нибудь невыпуклый 5-угольник разрезать на два равных 5-угольника?

Решение

Условие

Решение

Источники и прецеденты использования