Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Пусть p – полупериметр остроугольного треугольника ABC,
q – полупериметр треугольника, образованного основаниями его высот.
Докажите, что p : q = R : r, где R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.
AB — диаметр окружности, BC и CDA — касательная и секущая. Найдите отношение CD : DA, если BC равно радиусу окружности.
В трапеции ABCD основание AB = a, основание CD = b (a < b). Окружность, проходящая через вершины A, B и C, касается стороны AD.
Найдите диагональ AC.
Дано число x, большее 1. Обязательно ли имеет место равенство
Докажите, что две непересекающиеся окружности S1 и S2
(или окружность и прямую) можно при помощи
инверсии перевести в пару концентрических окружностей.
Любую ли сумму из целого числа рублей больше семи, можно уплатить без сдачи денежными купюрами по 3 и 5 рублей?
Докажите, что при инверсии относительно описанной окружности изодинамические
центры треугольника переходят друг в друга.
|
|
 |
Условие
Докажите, что при инверсии относительно описанной окружности изодинамические
центры треугольника переходят друг в друга.
Решение
Воспользуемся обозначениями задачи 7.16. Докажем, что при инверсии
относительно описанной окружности окружность Sa переходит в себя. Это
эквивалентно тому, что описанная окружность ортогональна окружности Sa, т.е.
при инверсии относительно окружности Sa описанная окружность переходит в
себя. При инверсии относительно окружности Sa точка A переходит в себя,
поэтому достаточно проверить, что точка B переходит в точку C, т.е.
OB . OC = OD2, где O — середина отрезка DE. Пусть для определенности
b < c. Тогда
OD = +
=
,
OB = OD + DB =
и
OC =
.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 28 |
| Название | Инверсия |
| Тема | Инверсия |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Свойства инверсии |
| Тема | Свойства инверсии |
| задача | |
| Номер | 28.007B |
