Версия для печати
Убрать все задачи

---

В круглый бокал, осевое сечение которого — график функции y = x⁴, опускают вишенку — шар радиуса r. При каком наибольшем r шар коснется нижней точки дна? (Другими словами, каков максимальный радиус r круга, лежащего в области yx⁴ и содержащего начало координат?)

   Решение

---

Даны многочлены  f(x) и g(x) с целыми неотрицательными коэффициентами, m – наибольший коэффициент многочлена  f. Известно, что для некоторых натуральных чисел  a < b  имеют место равенства  f(a) = g(a)  и  f(b) = g(b).  Докажите, что если  b > m,  то многочлены  f и g совпадают.

   Решение

Темы:    [ Теорема Мора-Маскерони ] [ Построения одним циркулем ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

С помощью одного циркуля
  а) постройте точки пересечения данной окружности S и прямой, проходящей через данные точки A и B;
  б) постройте точку пересечения прямых A₁B₁ и A₂B₂, где A₁, B₁, A₂ и B₂ – данные точки.

Решение

  а) Пользуясь задачей 58338, построим центр O окружности S. Строим точку О', симметричную O относительно AB (см. задачу 58334). Если О' не совпадает с О, то для произвольной точки C на S строим точку C', симметричную ей относительно AB. Тогда окружность S' с центром О' и радиусом О'C' симметрична S относительно AB. Искомые точки являются точками её пересечения с S.
  Если же О' совпадает с О, то рассмотрим вспомогательную окружность Ω. Строим инверсные образы прямой AB (задача 58337) и окружности S (задачи 58326 и 58338) относительно Ω и находим их точки пересечения. Искомые точки инверсны им относительно Ω.

  б) Рассмотрим некоторую инверсию с центром A₁. Прямая A₂B₂ при этой инверсии переходит в окружность S, проходящую через точку A₁ образы A₃ и B₃ точек A₂ и B₂. Окружность S мы можем построить, воспользовавшись задачей 58337. Затем построим точки пересечения S и прямой A₁B₁, воспользовавшись п. а). Искомой точкой является образ точки пересечения, отличной от A₁, при рассматриваемой инверсии.

Источники и прецеденты использования