Версия для печати
Убрать все задачи

---

Внутри выпуклого четырехугольника ABCD построены равнобедренные прямоугольные треугольники ABO₁, BCO₂, CDO₃ и DAO₄. Докажите, что если O₁ = O₃, то O₂ = O₄.

   Решение

---

На плоскости взяты шесть точек A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂. Докажите, что если окружности, описанные около треугольников A₁B₁C₁, A₁B₂C₂, A₂B₁C₂, A₂B₂C₁, проходят через одну точку, то и окружности, описанные около треугольников A₂B₂C₂, A₂B₁C₁, A₁B₂C₁, A₁B₁C₂, проходят через одну точку.

   Решение

---

Пусть точки A, B, C и D лежат на конике, заданной уравнением второй степени f = 0. Докажите, что

где и  — некоторые числа.

   Решение

---

Перед Алёшей 100 закрытых коробочек, в каждой – либо красный, либо синий кубик. У Алёши на счету есть рубль. Он подходит к любой закрытой коробочке, объявляет цвет и ставит любую сумму (можно нецелое число копеек, но не больше, чем у него на счету в данный момент). Коробочка открывается, и Алёшин счет увеличивается или уменьшается на поставленную сумму в зависимости от того, угадан или не угадан цвет кубика. Игра продолжается, пока не будут открыты все все коробочки. Какую наибольшую сумму на счету может гарантировать себе Алёша, если ему известно, что
  a) синий кубик только один;
  б) синих кубиков ровно n.
(Алёша может поставить и 0, то есть просто бесплатно открыть коробочку и увидеть цвет кубика.)

   Решение

---

Даны четыре окружности S₁, S₂, S₃, S₄. Пусть S₁ и S₂ пересекаются в точках A₁ и A₂, S₂ и S₃ — в точках B₁ и B₂, S₃ и S₄ — в точках C₁ и C₂, S₄ и S₁ — в точках D₁ и D₂ (рис.). Докажите, что если точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат на одной окружности S (или прямой), то и точки A₂, B₂, C₂, D₂ лежат на одной окружности (или прямой).

   Решение

Темы:    [ Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Даны четыре окружности S₁, S₂, S₃, S₄. Пусть S₁ и S₂ пересекаются в точках A₁ и A₂, S₂ и S₃ — в точках B₁ и B₂, S₃ и S₄ — в точках C₁ и C₂, S₄ и S₁ — в точках D₁ и D₂ (рис.). Докажите, что если точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат на одной окружности S (или прямой), то и точки A₂, B₂, C₂, D₂ лежат на одной окружности (или прямой).

Решение

Сделаем инверсию с центром в точке A₁. Тогда окружности S₁, S₂ и S₄ перейдут в прямые A₂^*D₁^*, B₁^*A₂^* и  D₁^*B₁^*, окружности S₃ и S₄ — в окружности S₃^* и S₄^*, описанные около треугольников B₂^*C₁^*B₁^* и  C₁^*D₁^*D₂^* (рис.). Проведем окружность через точки B₂^*, D₂^*, A₂^*. Согласно задаче 2.80, а) она пройдет через точку C₂^* пересечения окружностей S₃^* и S₄^*. Таким образом, точки A₂^*, B₂^*, C₂^*, D₂^* лежат на одной окружности. Следовательно, точки A₂, B₂, C₂, D₂ лежат на одной окружности или прямой.

Источники и прецеденты использования