Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости дан угол, образованный двумя лучами a и b, и некоторая точка M.
Провести через точку M прямую c так, чтобы треугольник, образованный прямыми a, b и c, имел периметр данной величины.

   Решение

---

Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник можно разрезать на пять многоугольников, каждый из которых имеет ось симметрии.

   Решение

---

К двум окружностям, расположенным одна вне другой, проведены одна внешняя и одна внутренняя касательные. Рассмотрим две прямые, каждая из которых проходит через точки касания, принадлежащие одной из окружностей. Докажите, что точка пересечения этих прямых расположена на прямой, соединяющей центры окружностей.

   Решение

---

На сторонах выпуклого n-угольника внешним образом построены правильные n-угольники. Докажите, что их центры образуют правильный n-угольник тогда и только тогда, когда исходный n-угольник аффинно правильный.

   Решение

Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 7 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

На сторонах выпуклого n-угольника внешним образом построены правильные n-угольники. Докажите, что их центры образуют правильный n-угольник тогда и только тогда, когда исходный n-угольник аффинно правильный.

Решение

Пусть A₁...A_n — исходный n-угольник, причем его вершины занумерованы против часовой стрелки; B_j — центр правильного n-угольника, построенного внешним образом на стороне A_jA_{j + 1}. Будем считать, что точки плоскости отождествлены с комплексными числами. Обозначим через w комплексное число cos(2/n) + i sin(2/n). Умножение на w (соответственно на ) является поворотом вокруг нуля на угол 2/n против часовой стрелки (соответственно по часовой стрелке). Точка A_j при повороте вокруг B_{j - 1} на угол 2/n против часовой стрелки переходит в точку A_{j - 1}, а при повороте вокруг B_j по часовой стрелке — в точку A_{j + 1}. Поэтому имеют место равенства

для всех j = 1,..., n (здесь и далее мы будем считать, что A₀ = A_n и A_{n + 1} = A₁). Следовательно,

Сложим эти равенства. Учитывая, что w - 1 = - w( - 1), получим

для всех j = 1,..., n.
Многоугольник B₁B₁...B_n является правильным тогда и только тогда, когда соответствие между точками плоскости и комплексными числами можно установить так, что B_j = wB_{j - 1} для всех j = 1,..., n, т. е. при всех j левая часть (1) равна нулю.
С другой стороны, согласно задаче 29.8.1 многоугольник A₁A₂...A_n аффинно правильный тогда и только тогда, когда соответствие между точками плоскости и комплексными числами можно установить так, что cos(2/n)A_j = A_{j - 1} + A_{j + 1} для всех j = 1,..., n. Поскольку w + = cos(2/n), последнее условие эквивалентно тому, что правая часть (1) равна нулю.

Источники и прецеденты использования