Условие
Используя проективные преобразования прямой,
решите задачу о бабочке (задача
30.44).
Решение
Пусть
F' — точка, симметричная
F относительно
O. Нам
надо доказать, что
F' =
E. Согласно задаче
30.9 композиция
проецирования прямой
AB на окружность
S из точки
M, а затем
S
обратно на
AB из
Q является проективным преобразованием
прямой
AB. Рассмотрим композицию этого преобразования с симметрией
относительно точки
O. При этом точки
A,
B,
O,
E переходят
соответственно в
B,
A,
F',
O. Следовательно, согласно
задаче
30.2, б),
(
ABOE) = (
BAF'O).
С другой стороны, ясно, что
(
BAF'O) =
:
=
:
= (
ABOF'), т. е. (
ABOE) = (
ABOF'),
следовательно, согласно задаче
30.3,
E =
F'.
Источники и прецеденты использования
