Докажите, что сумма длин любых двух медиан произвольного треугольника
  а) не больше ¾ P, где P – периметр этого треугольника;
  б) не меньше ¾ p, где p – полупериметр этого треугольника.

   Решение

На сторонах треугольника ABC вне его построены правильные треугольники ABC₁, BCA₁ и CAB₁. Доказать, что + + = .

   Решение

У тетраэдра ABCD сумма площадей двух граней (с общим ребром AB) равна сумме площадей оставшихся граней (с общим ребром CD). Докажите, что середины рёбер BC, AD, AC и BD лежат в одной плоскости, причём эта плоскость содержит центр сферы, вписанной в тетраэдр ABCD.

   Решение

Докажите, что для любого натурального n  2⁵ⁿ⁺³ + 5ⁿ·3ⁿ⁺²  делится на 17.

   Решение

Докажите неравенство для натуральных n:  

   Решение

а) Электрическая схема имеет вид решетки 3×3: всего в схеме 16 узлов (вершины квадратиков решётки), которые соединены проводами (стороны квадратиков решётки). Возможно, часть проводов перегорела. За одно измерение можно выбрать любую пару узлов схемы и проверить, проходит ли между ними ток (то есть, проверить, существует ли цепочка неперегоревших проводов, соединяющая эти узлы). В действительности схема такова, что ток проходит от каждого узла к любому другому. За какое наименьшее число измерений всегда можно в этом удостовериться?

б) Тот же вопрос для решётки 5×5 (всего 36 узлов).

   Решение

Докажите тождество: 1³ + 2³ +...+ n³ = (1 + 2 +...+ n)².

   Решение

Темы:    [ Индукция (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите тождество: 1³ + 2³ +...+ n³ = (1 + 2 +...+ n)².

Источники и прецеденты использования