F(x) – возрастающая функция, определённая на отрезке  [0, 1].  Известно, что область её значений принадлежит отрезку  [0, 1].  Доказать, что, каково бы ни было натуральное n, график функции можно покрыть N прямоугольниками, стороны которых параллельны осям координат так, что площадь каждого равна ¹/_n². (В прямоугольник мы включаем его внутренние точки и точки его границы.)

   Решение

Сумма нескольких положительных чисел равна 10, а сумма квадратов этих чисел больше 20. Докажите, что сумма кубов этих чисел больше 40.

   Решение

Чему равны числа Фибоначчи с отрицательными номерами F_-1, F_-2, ..., F_-n,...?

   Решение

В связном графе степени четырёх вершин равны 3, а степени остальных вершин равны 4.
Докажите, что нельзя удалить ребро так, чтобы граф распался на две изоморфные компоненты связности.

   Решение

Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот треугольника ABC относительно его сторон, лежат на описанной окружности.

   Решение

Двое играющих по очереди увеличивают натуральное число так, чтобы при каждом увеличении разность между новым и старым значениями числа была бы больше нуля, но меньше старого значения. Начальное значение числа равно 2. Выигравшим считается тот, в результате хода которого получится 1987. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр?

   Решение

Некто приобрел пару кроликов и поместил их в огороженный со всех сторон загон. Сколько кроликов будет через год, если считать, что каждый месяц пара дает в качестве приплода новую пару кроликов, которые со второго месяца жизни также начинают приносить приплод?

   Решение

а) Есть 128 монет двух различных весов, монет каждого веса поровну. Как на чашечных весах без гирь гарантированно найти две монеты разного веса не более чем за семь взвешиваний?
б) Есть восемь монет двух различных весов, монет каждого веса поровну. Как на чашечных весах без гирь гарантированно найти две монеты разного веса за два взвешивания?

   Решение

Внутри треугольника ABC взята такая точка P, что  PAB : PAC = PCA : PCB = PBC : PBA = x. Докажите, что x = 1.

   Решение

Cколько существует различных семизначных телефонных номеров (cчитается, что номер начинаться с нуля не может)?

   Решение

Темы:    [ Правило произведения ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 2 Классы: 6,7,8

Прислать комментарий

Условие

Cколько существует различных семизначных телефонных номеров (cчитается, что номер начинаться с нуля не может)?

Решение 1

Первую цифру можно выбрать 9 способами, а каждую из шести остальных – 10 способами. Итого, 9·10⁶ способов.

Решение 2

Таких номеров столько же, сколько семизначных чисел. Наибольшее семизначное число – 9999999, наибольшее шестизначное – 999999. Поэтому всего семизначных чисел  9999999 – 999999 = 9000000.

Ответ

9·10⁶ номеров.

Источники и прецеденты использования