Докажите, что если стороны a, b и противолежащие им углы α и β треугольника связаны соотношением  ^a/_{cos α} = ^b/_{cos β},  то треугольник – равнобедренный.

   Решение

Три купчихи – Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна – сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна – 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна – 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?

   Решение

Постройте четырехугольник по углам и диагоналям.

   Решение

Число Y получается из натурального числа X некоторой перестановкой его цифр. Известно, что  X + Y = 10²⁰⁰.  Доказать, что X делится на 50.

   Решение

а) Покажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых кратна 5.
б) Останется ли это утверждение верным, если вместо разности взять сумму?

   Решение

Исследуйте последовательности на сходимость:
а) x_{n + 1} = ,    x₀ = 1;
б) x_{n + 1} = sin x_n,     x₀ = a (0;);
в) x_{n + 1} = ,    a > 0, x₀ = 0.

   Решение

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

+ + 3.

   Решение

Докажите, что если в выражении  (x² – x + 1)²⁰¹⁴  раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то какой-нибудь коэффициент полученного многочлена будет отрицательным.

   Решение

Докажите следующий вариант формулы Бине:  

   Решение

Докажите равенство:  
(Сумма, стоящая в левой части, может быть интерпретирована, как сумма элементов треугольника Паскаля, стоящих в одной диагонали.)

   Решение

Темы:    [ Числа Фибоначчи ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11 Название задачи: Числа Фибоначчи и треугольник Паскаля.

Прислать комментарий

Условие

Докажите равенство:  
(Сумма, стоящая в левой части, может быть интерпретирована, как сумма элементов треугольника Паскаля, стоящих в одной диагонали.)

Подсказка

Равенство можно доказать методом математической индукции. Другое решение можно получить, если воспользоваться задачами 60576 и 60403.

Решение 1

Проверим, что данные суммы S_n удовлетворяют рекуррентному определению чисел Фибоначчи:

Решение 2

Рассмотрим последовательности длины  n – 1,  состоящие из нулей и единиц, в которых нет двух рядом стоящих единиц. Согласно задаче 60576 количество таких последовательностей равно F_n+1. С другой стороны, согласно задаче 60403 число таких последовательностей, содержащих ровно k единиц, равно      Суммируя по  k ≤ ⁿ/₂  (большего числа единиц быть не может), получаем нужное равенство.

Источники и прецеденты использования