Угол при вершине A треугольника ABC равен 120^o. Окружность касается стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Докажите, что расстояние от вершины A до центра окружности равно периметру треугольника ABC.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CK из вершины прямого угла C, а в треугольнике ACK – биссектриса CE. Докажите, что  CB = BE.

   Решение

В колбе находится колония из n бактерий. В какой-то момент внутрь колбы попадает вирус. В первую минуту вирус уничтожает одну бактерию, и сразу же после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам. Во вторую минуту новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы, и оставшиеся бактерии снова делятся пополам, и т.д. Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?

   Решение

Фазовая плоскость Opq разбивается параболой  p² – 4q = 0  и прямыми  p + q + 1 = 0,  – 2p + q + 4 = 0  на несколько областей. Для точек каждой области укажите, сколько корней имеет соответствующий им многочлен  x² + px + q = 0  на интервале  (– 2, 1).

   Решение

Темы:    [ Фазовая плоскость коэффициентов ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Фазовая плоскость Opq разбивается параболой  p² – 4q = 0  и прямыми  p + q + 1 = 0,  – 2p + q + 4 = 0  на несколько областей. Для точек каждой области укажите, сколько корней имеет соответствующий им многочлен  x² + px + q = 0  на интервале  (– 2, 1).

Решение

  Заметим, что указанные прямые касаются дискриминатной параболы (в точках  (– 2, 1)  и  (4, 4)  соответственно). Таким образом, плоскость разбивается на семь областей: А – внутренность параболы, далее B, C, D, E, F – по часовой стрелке; G – центральная область.
  Пусть  f(x) = x² + px + q;  заметим, что  f(1) = p + q + 1,  f(–2) = – 2p + q + 4.
  В области A дискриминант трёхчлена f(x) отрицателен, поэтому трёхчлен корней не имеет.
  В остальных областях трёхчлен имеет два корня.
  В области B  f(–2) > 0.  Кроме того, в ней  p > 4,  поэтому абсцисса вершина параболы  y = f(x)  находится левее точки – 2. Значит, на указанном интервале трёхчлен f(x) корней не имеет.
  В области C  f(– 2) < 0,  f(1) > 0.  Поэтому на интервале  (– 2, 1)  трёхчлен f(x) имеет один корень.
  В области D  f(–2) < 0,  f(1) < 0.  Поэтому на интервале  (– 2, 1)  трёхчлен f(x) имеет два корня.
  В области E  f(–2) > 0,  f(1) < 0.  Поэтому на интервале  (– 2, 1)  трёхчлен f(x) имеет один корень.
  В области F  f(1) > 0.  Кроме того, в ней  p < – 2,  поэтому абсцисса вершина параболы  y = f(x)  находится правее точки 1. Значит, на интервале  (– 2, 1)  трёхчлен f(x) корней не имеет.
  Наконец, в области G  f(–2) > 0,  f(1) > 0.  Кроме того, в ней  – 2 < p < 4,  поэтому абсцисса вершина параболы находится внутри интервала  (– 2, 1).  Следовательно оба корня трёхчлена f(x) находятся внутри этого интервала.

Источники и прецеденты использования