На отрезке MN построены подобные, одинаково ориентированные треугольники AMN, NBM и MNC (см. рис.).
Докажите, что треугольник ABC подобен всем этим треугольникам, а центр его описанной окружности равноудален от точек M и N.

   Решение

В ребусе ЯЕМЗМЕЯ = 2020 замените каждую букву в левой части равенства цифрой или знаком арифметического действия (одинаковые буквы одинаково, разные – по-разному) так, чтобы получилось верное равенство. Достаточно привести один пример, пояснений не требуется.

   Решение

Внутри остроугольного треугольника ABC дана точка P, причём APB = ACB + 60^o, BPC = BAC + 60^o, CPA = CBA + 60^o. Докажите, что точки пересечения продолжений отрезков AP, BP и CP (за точку P) с описанной окружностью треугольника ABC лежат в вершинах равностороннего треугольника.

   Решение

За круглым вращающимся столом, на котором стоят 8 белых и 7 чёрных чашек, сидят 15 гномов. Они надели 8 белых и 7 чёрных колпачков. Каждый гном берёт себе чашку, цвет которой совпадает с цветом его колпачка, и ставит напротив себя, после этого стол поворачивается случайным образом. Какое наибольшее число совпадений цвета чашки и колпачка можно гарантировать после поворота стола (гномы сами выбирают, как сесть, но не знают, как повернётся стол)?

   Решение

Темы:    [ Теорема Виета ] [ Симметрические многочлены ] [ Кубические многочлены ] [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть известно, что все корни некоторого уравнения  x³ + px² + qx + r = 0  положительны. Какому дополнительному условию должны удовлетворять его коэффициенты p, q и r для того, чтобы из отрезков, длины которых равны этим корням, можно было составить треугольник?

Решение

Пусть u, v, w – корни нашего уравнения. Условие эквивалентно неравенству  (v + w – u)(u + w – v)(u + v – w) > 0.  Но
(v + w – u)(u + w – v)(u + v – w) = (– p – 2u)(– p – 2v)(– p – 2w) = – p³ – 2(u + v + w)p² – 4(uv + uw + vw)p – 8uvw =
  = – p³ + 2p³ – 4pq + 8r = p³ – 4pq + 8r.

Ответ

p³ – 4pq + 8r > 0.

Источники и прецеденты использования