Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найдите все степени чисел 2, 3, 5, 6, 7, 11, 12, лежащие в промежутке от 1 до 10000 и выстройте их по порядку. Найдите среди них пары чисел, разность между которыми не превосходит 10.

   Решение

---

На предприятии трудятся 50000 человек. Для каждого из них сумма количества его непосредственных начальников и его непосредственных подчинённых равна 7. В понедельник каждый работник предприятия издаёт приказ и выдаёт копию этого приказа каждому своему непосредственному подчинённому (если такие есть). Далее, каждый день работник берёт все полученные им в предыдущий день приказы и либо раздаёт их копии всем своим непосредственным подчинённым, либо, если таковых у него нет, выполняет приказы сам. Оказалось, что в пятницу никакие бумаги по учреждению не передаются. Докажите, что на предприятии не менее 97 начальников, над которыми нет начальников.

   Решение

---

Чтобы открыть сейф, нужно ввести код  – число, состоящее из семи цифр: двоек и троек. Сейф откроется, если двоек больше, чем троек, а код делится и на 3, и на 4. Придумайте код, открывающий сейф.

   Решение

---

На доске $6\times6$ расставили шесть не угрожающих друг другу ладей. Затем каждое не занятое ладьёй поле покрасили по такому правилу: если ладьи, угрожающие этому полю, находятся от него на одинаковом расстоянии, то это поле закрашивают в красный цвет, а если на разном – то в синий цвет. Могли ли все не занятые поля оказаться
  а) красными;
  б) синими?

   Решение

---

Найдите наименьшее натуральное n, для которого число nⁿ не является делителем числа 2008!.

   Решение

---

Докажите, что дробно-линейное отображение переводит каждую окружность или прямую линию снова в окружность или прямую линию.

   Решение

---

Точка z против часовой стрелки обходит квадрат с вершинами –1 – i,  2 – i,  2 + 2i,  –1 + 2i.  Как при этом ведут себя точки
  a)  z²;   б)  z³;   в)  z^–1?

   Решение

Тема:    [ Преобразования комплексной плоскости (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Точка z против часовой стрелки обходит квадрат с вершинами –1 – i,  2 – i,  2 + 2i,  –1 + 2i.  Как при этом ведут себя точки
  a)  z²;   б)  z³;   в)  z^–1?

Ответ

Движется
a) против часовой стрелки по параболе  x =  ^y2/₄ – 1  от точки  (0, 2)  до точки  (3, –4),  потом по параболе  x = 4 – ^y2/₁₆  от точки  (3, –4)  до точки  (0, 8),  затем по параболе  x = ^y2/₁₆ – 4  от точки  (0, 8)  до точки  (–3, –4)  и по параболе  x = 1 – ^y2/₄  от точки  (–3, –4)  до точки  (0, 2)  (рис. слева);

б) против часовой стрелки по кривой  (t³ – 3t, 1 – 3t²)  (–1 ≤ t ≤ 2),  потом по кривой  (8 – 6t², 12t – t³)  (–1 ≤ t ≤ 2),  затем по кривой
(t³ – 12t, 6t² – 8)  (–1 ≤ t ≤ 2)  и по кривой  (3t² – 1, 3t – t³)  (–1 ≤ t ≤ 2)  (рис. в центре);
в) по часовой стрелке по окружности  x² + (y – ½)² = ¼  от точки  (– ½, ½)  до точки  (– ²/₅, ¹/₅),  потом по окружности  (x – ¼)² + y² = ¹/₁₆  от точки  (– ²/₅, ¹/₅)  до точки  (¼, – ¼),  затем по окружности  x² + (y – ¼)² = ¹/₁₆  от точки  (¼, – ¼)  до точки  (– ¹/₅, – ²/₅)  и по окружности  (x + ½)² + y² = ¼  от точки  (– ¹/₅, – ²/₅)  до точки  (– ½, ½)  (рис. справа).

Источники и прецеденты использования