Сумма положительных чисел a, b, c и d равна 3. Докажите неравенство   ¹/_a³ + ¹/_b³ + ¹/_c³ + ¹/_d³ ≤ ¹/_a³b³c³d³.

   Решение

Решите уравнение  

   Решение

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Середины сторон AB и CD обозначим соответственно через K и M, точку пересечения AM и DK — через O, точку пересечения BM и CK — через P. Доказать, что площадь четырёхугольника MOKP равна сумме площадей треугольников BPC и AOD.

   Решение

Боковое ребро правильной треугольной призмы равно высоте основания, а площадь сечения, проведённого через это боковое ребро и высоту основания, равна Q . Найдите объём призмы.

   Решение

Выразите через a и b действительный корень уравнения  x³ – a³ – b³ – 3abx = 0.
Найдите представления для двух комплексных корней этого уравнения.

   Решение

Тема:    [ Кубические многочлены ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Выразите через a и b действительный корень уравнения  x³ – a³ – b³ – 3abx = 0.
Найдите представления для двух комплексных корней этого уравнения.

Решение 1

Из равенства  (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)  ясно, что  x = a + b  – корень нашего уравнения. Поделив  x³ – a³ – b³ – 3abx  на  x – a – b,  получим квадратное уравнение  x² + (a + b)x + a² – ab + b²  и найдём его комплексные корни.

Решение 2

Согласно решению задачи 61259  x³ – a³ – b³ – 3abx = (x – a – b)(x – ωa – ω²b)(x – ω²a – ωb),  где ω – кубический корень из 1.

Ответ

x₁ = a + b,  x² = ωa + ω²b,  x³ = ω²a + ωb,  где ω – кубический корень из 1.

Источники и прецеденты использования