Информация о задаче

Выбрано 10 задач

Пусть x = sin 18°. Докажите, что 4x² + 2x = 1.

Докажите, что уравнение a₁ sin x + b₁ cos x + a₂ sin 2x + b₂ cos 2x + ... + a_n sin nx + b_n cos nx = 0 имеет хотя бы один корень при любых значениях a₁, b₁, a₂, b₂, ..., a_n, b_n.

Решение

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, AC = 10. Из середины D стороны AB проведён перпендикуляр DE к стороне AB до пересечения со стороной BC в точке E. Периметр треугольника ABC равен 40. Найдите периметр треугольника AEC.

Решение

В треугольнике боковая сторона равна 16 и образует с основанием угол в 60^o; другая боковая сторона равна 14. Найдите основание.

Решение

В равнобедренную трапецию вписана окружность.
Докажите, что отношение площади трапеции к площади круга равно отношению периметра трапеции к длине окружности.

Решение

Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна S, а высота трапеции в два раза меньше её боковой стороны.
Найдите радиус окружности.

Решение

Дан прямоугольный треугольник. Впишите в него прямоугольник с общим прямым углом, у которого диагональ минимальна.

Решение

Докажите, что cos²( $\alpha$ /2) = p(p - a)/bc и sin²( $\alpha$ /2) = (p - b)(p - c)/bc.

Решение

Равнобедренные треугольники ABC (AB = BC) и A₁B₁C₁ (A₁B₁ = B₁C₁) подобны и AB : A₁B₁ = 2 : 1. Вершины A₁, B₁ и C₁ расположены соответственно на сторонах CA, AB и BC, причём A₁B₁ ⊥ AC. Найдите угол B.

Решение

Решите уравнения
а) x³ – 3x – 1 = 0;
б) x³ – 3x – = 0.
Укажите в явном виде все корни этих уравнений.

Решение

Условие

Решение

Источники и прецеденты использования