Версия для печати
Убрать все задачи

---

На сколько частей делят плоскость n прямых общего положения, то есть таких, что никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку?

   Решение

---

Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60^o . Внутри конуса расположены три сферы радиуса 1. Каждая сфера касается двух других, основания конуса и его боковой поверхности. Найдите радиус основания конуса.

   Решение

---

На сколько частей делят пространство n плоскостей, проходящих через одну точку, если никакие три не имеют общей прямой?

   Решение

---

Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точки C₁, A₁ и B₁, причем k из них лежат на сторонах треугольника и 3 - k — на продолжениях сторон. Пусть

Докажите, что:
а) точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R = 1 и k четно (Менелай);
б) прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечетно (Чева).

   Решение

---

Внутри окружности с центром O дана точка A. Найдите точку M окружности, для которой угол OMA максимален.

   Решение

Темы:    [ Кубические многочлены ] [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Итерации ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Укажите способ приближенного нахождения положительного корня уравнения  x³ – x – 1 = 0.

Решение

Запишем уравнение в виде  x² = 1 + ¹/_x.  Рассмотрим последовательность     и докажем, что она сходится к положительному корню x₀ нашего уравнения. Действительно все члены последовательности не меньше 1, поэтому

Замечания

Метод Ньютона (см. задачу 61328) даёт более быстрый способ приближённого нахождения корня, но обосновать его сложнее.

Источники и прецеденты использования