Задача 61329

Темы:    [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Итерации ] [ Числа Фибоначчи ] [ Цепные (непрерывные) дроби ]

Сложность: 4 Классы: 10,11 Название задачи: Метод Ньютона и числа Фибоначчи.

Условие

Применим метод Ньютона (см. задачу 61328) для приближённого нахождения корней многочлена   f(x) = x² – x – 1. Какие последовательности чисел получатся, если
  а)  x₀ = 1;   б)  x₀ = 0?
К каким числам будут сходиться эти последовательности?
Опишите разложения чисел x_n в цепные дроби.

Решение

  По методу Ньютона мы получаем итерационную формулу  

  а)  

  Заметим, что если     то согласно формулам     (см. задачу 60567) и  F_m–1F_m + F_mF_m+1 = F_2m

(см. задачу 60566)    

  Следовательно,     Из задачи 60578 легко следует, что эта последовательность сходится к положительному корню φ трёхчлена  x² – x – 1.
  Согласно задаче 60596 разложение x_n в цепную дробь имеет вид  [1; 1, 1, ..., 1]  (всего 2n единиц).

  б)     Аналогично п. а) получаем, что     (2n – 3  единицы),
x_n → – φ^–1  (это второй корень того же трёхчлена).

Замечания

Заменой  t = x – ½  трёхчлен  x² – x – 1  превращается в  t² – ⁵/₄,  поэтому сходимость указанных последовательностей к корням трёхчлена следует также из задачи 61328.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	9
Название	Уравнения и системы
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Итерации
Тема	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)
задача
Номер	09.079